[BCPST 1ere Année] Probabilités

[Anonyme]

Bonjour !

J'ai quelques difficultés à terminer le problème suivant (la plupart des
questions sont traitées, j'espère correctement, mais certaines resistent
encore et toujours à l'envahisseur) :

http://www.via.ecp.fr/~anil/probleme_proba.pdf
(40 ko, l'énoncé et mes réponses)

Les questions II]1) et III]3) sont celles qui me posent problème :
II]1) -> le résultat me semble incohérent
III]3) (derniere question) -> je sèche

Merci d'avance de votre aide !

--
Anil

[Anonyme]

> http://www.via.ecp.fr/~anil/probleme_proba.pdf
> (40 ko, l'énoncé et mes réponses)

Voici un résumé du pdf en texte brut :

2n boules sont disposées dans une urne. Chaque boule est numérotée entre
1 et n (il y a exactement 2 boules portant chaque numéro).

Un jeu consiste à tirer n boules sans remise de l'urne, et le
joueur gagne le nombre de points correspondant à la somme des numéros
tirés.

On note G la variable aléatoire correspondant au gain du joueur
et Xi (pour i entre 1 et n) la variable aléatoire correspondant au
nombre de boules portant le numéro i tirées par le joueur.

Le but des deux premières parties est de calculer E(G) et V(G).

E(G)=E(somme sur i des i*Xi)=E(X1)*[n(n+1)/2)] car tous les Xi obéissent
à la même loi.
E(X1)=1, donc E(G)=n*(n+1)/2

V(G)=V(somme sur i des i*Xi)=somme sur i des V(i*Xi) + somme pour
11)<1/1000.

J'ai essayé de raisonner avec l'inégalité de Tchebychev mais je ne suis
arrivé a rien.

Merci d'avance de votre aide !

--
Anil

[Anonyme]

"Anil Daoud" a écrit
> Bonjour !
>
Bonjour !

> J'ai quelques difficultés à terminer le problème suivant (la plupart
des
> questions sont traitées, j'espère correctement, mais certaines
resistent
> encore et toujours à l'envahisseur) :
>
> http://www.via.ecp.fr/~anil/probleme_proba.pdf
> (40 ko, l'énoncé et mes réponses)
>
> Les questions II]1) et III]3) sont celles qui me posent problème :
> II]1) -> le résultat me semble incohérent

Si, comme tu le dis, les Xi ne te semblent pas indépendants, pourquoi
écris-tu par exemple p(X1 = 1 et X2 = 1) = p(X1 = 1)*p(X2 = 1) ?

> III]3) (derniere question) -> je sèche

Pour l'instant, je vais faire dodo. Peut-être demain...

Cordialement
Stéphane

[Anonyme]

> Si, comme tu le dis, les Xi ne te semblent pas indépendants, pourquoi
> écris-tu par exemple p(X1 = 1 et X2 = 1) = p(X1 = 1)*p(X2 = 1) ?

Tout à fait exact ! Une expression plus logique serait :
E(X1*X2)=[4*C(2n-4,n-2)+4*2*C(2n-4,n-3)+4*C(2n-4,n-4)]/C(2n,n)

Mais avec cette expression on arrive a une formule bien compliquée pour
V(G).

Pour la derniere question, l'idéal serait que E(Z)=75/19, mais ca
impliquerait que je me sois trompé dans quasiment toutes les questions
avant (ou alors en recopiant l'énoncé . Sinon vraiment je ne vois pas.

--
Anil

[Anonyme]

"Anil Daoud" a écrit

> Pour la derniere question, l'idéal serait que E(Z)=75/19, mais ca
> impliquerait que je me sois trompé dans quasiment toutes les questions
> avant (ou alors en recopiant l'énoncé . Sinon vraiment je ne vois
pas.

Pas mieux
NB. 25 = 475/19. Il manque peut-être un 4 mais ça serait encore plus
bizarre !

Cordialement
Stéphane

[Anonyme]

> Pas mieux
> NB. 25 = 475/19. Il manque peut-être un 4 mais ça serait encore plus
> bizarre !

En fait c'était une erreur d'énoncé (grmbl) la mise n'est pas de 30 mais
de 70 (ce qui amene l'esperance de Z à -15 et la derniere question
s'écrit maintenant avec p(|Z+15|>1)<1/1000, ce qui est beaucoup plus
logique !

--
Anil