Polynome ...

[Anonyme]

bonjour ! Je vous envoie mon probleme de maths, j'aimerais avoir quelques
aides:

1) La somme 1+2+...+n
a)Déterminer un polynome P, de degrès 2, vérifiant pour tout x :
P(x+1)-P(x) = x
b)Prouver l'égalité: 1+2+...+n = P(n+1)-P(1).
En déduire que 1+2+...+n = n(n+1)/2.

2) La somme 1²+2²+...+n²
a) Déterminer un polynome Q, de degrès 3, vérifiant pour tout x :
Q(x+1)-Q(1) = x².
b) En déduire les égalités :
1²+2²+...n² = Q(n+1)-Q(1).
puis
1²+2²+...n² = n(n+1)(2n+1)/6.

3) 1^3+2^3+...+n^3
En s'inspirant de la méthode des questions 1) et 2), établir la formule
sommatoire : 1^3+2^3+...+n^3 = [n(n+1)/2]².




J'ai résolu la première question, je voudrais savoir si elle est juste mais
je n'arrive pas à résoudre les autres. Pourriez vous m'aider s'il vous plait
:
1)a)
On pose P(x) = ax²+bx+c
O a : a(x+1)²+b(x+1)+c-ax²-bx-c = x
a[((x+1)+x)((x+1)-x)]+b((x+1)-x)+c-c = x
a(2x+1)+b = x
x(2a-1)+(a+b) = 0
Un polynome est nul si et seulement si les coefficients sont tous nuls:
c'est un systeme: { 2a-1 = 0 { a = 1/2
a+b = 0 b = -1/2
donc c = 0
Alors on a P(x) = 1/2x²-1/2x

b)
Si x = 1 P(2)-P(1) = 1
Si x = 2 P(3)-P(2) = 2
Si x = n P(n+1)-P(n) = n

P(2)-P(1) = 1 + P(3)-P(2) = 2 + P(n+1)-P(n) = n P(n+1)-P(1) =
1+2+...+n

=1/2(n+1)-1/2(n+1)

J'en déduit que 1/2(n+1) (n+1-1) = n(n+1)/2

[Anonyme]

"christophe.dessaux" a écrit dans le message
de news: 418947fc$0$15697$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> bonjour ! Je vous envoie mon probleme de maths, j'aimerais avoir quelques
> aides:
>
> 1) La somme 1+2+...+n
> a)Déterminer un polynome P, de degrès 2, vérifiant pour tout x :
> P(x+1)-P(x) = x
> b)Prouver l'égalité: 1+2+...+n = P(n+1)-P(1).
> En déduire que 1+2+...+n = n(n+1)/2.
>
> 2) La somme 1²+2²+...+n²
> a) Déterminer un polynome Q, de degrès 3, vérifiant pour tout x :
> Q(x+1)-Q(1) = x².
> b) En déduire les égalités :
> 1²+2²+...n² = Q(n+1)-Q(1).
> puis
> 1²+2²+...n² = n(n+1)(2n+1)/6.
>
> 3) 1^3+2^3+...+n^3
> En s'inspirant de la méthode des questions 1) et 2), établir la formule
> sommatoire : 1^3+2^3+...+n^3 = [n(n+1)/2]².
>
>
> J'ai résolu la première question, je voudrais savoir si elle est juste
mais
> je n'arrive pas à résoudre les autres. Pourriez vous m'aider s'il vous
plait
> :
> 1)a)
> On pose P(x) = ax²+bx+c
> O a : a(x+1)²+b(x+1)+c-ax²-bx-c = x
> a[((x+1)+x)((x+1)-x)]+b((x+1)-x)+c-c = x
> a(2x+1)+b = x
> x(2a-1)+(a+b) = 0
> Un polynome est nul si et seulement si les coefficients sont tous nuls:
> c'est un systeme: { 2a-1 = 0 { a = 1/2
> a+b = 0 b = -1/2
> donc c = 0

Non. Tu n'as aucune contrainte sur c (tu peux donc le choisir comme tu veux)

> Alors on a P(x) = 1/2x²-1/2x

C'est effectivement une possibilité

>
> b)
> Si x = 1 P(2)-P(1) = 1
> Si x = 2 P(3)-P(2) = 2
> Si x = n P(n+1)-P(n) = n
>
> P(2)-P(1) = 1 + P(3)-P(2) = 2 + P(n+1)-P(n) = n P(n+1)-P(1) =
> 1+2+...+n

Houla ! Réservons le "+" pour les opérations arithmétiques, il vaut mieux
utiliser "et" ici :
P(2)-P(1) = 1 *et* P(3)-P(2) = 2 *et* P(n+1)-P(n) = n
P(n+1)-P(1) = 1+2+...+n

Il est aussi préférable d'utiliser une récurrence, finalement tu t'es
contenté de paraphraser l'énoncé sans rien démontrer.

>
> =1/2(n+1)-1/2(n+1)
>
> J'en déduit que 1/2(n+1) (n+1-1) = n(n+1)/2

OK

Pour les autres : même démarche !

2) écris la forme générale d'un polynôme de degré 3, et suis le même
raisonnement

3) on imagine bien qu'il va encore falloir utiliser un polynôme. De quel
degré cette fois-ci ?

>
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[Anonyme]

Hibernatus n'a pas corrigé toutes les
erreurs de Christophe:

> P(2)-P(1) = 1 *et* P(3)-P(2) = 2 *et* P(n+1)-P(n) = n
> P(n+1)-P(1) = 1+2+...+n

Attention! Un professeur ayant un minimum de rigueur ne laisserait pas
passer l'équivalence : on raisonne ici par implication.

La réciproque s'écrit:
pour tout k P(2)-P(1) = 1 *et* P(3)-P(2)
= 2 (...) *et* P(n+1)-P(n) = n

--
Benoît RIVET

[Anonyme]

"Benoit Rivet" a écrit dans le message de
news: 1gmq2ux.1bjop1r1siduguN%benoit.rivet@libre.fr.invalid...
> Hibernatus n'a pas corrigé toutes les
> erreurs de Christophe:
>[color=green]
> > P(2)-P(1) = 1 *et* P(3)-P(2) = 2 *et* P(n+1)-P(n) = n
> > P(n+1)-P(1) = 1+2+...+n
>
> Attention! Un professeur ayant un minimum de rigueur ne laisserait pas
> passer l'équivalence : on raisonne ici par implication.[/color]

Un professeur ayant un minimum de rigueur pète les plombs au bout de 2
semaines

Mais tu as raison. En fait, je n'ai pas lu plus précisément ce qu'il avait
écrit une fois constaté qu'il n'y avait pas de démonstration.

> La réciproque s'écrit:
> pour tout k P(2)-P(1) = 1 *et* P(3)-P(2)
> = 2 (...) *et* P(n+1)-P(n) = n
>
> --
> Benoît RIVET