Polynome irréductible

[Anonyme]

Bonjour,

Y a t-il un lien entre le fait qu'un polynome n'ait pas de racine dans un
corps et le fait qu'il soit irréductible?
Je pense que non, puisque x^4+1 n'a pas de racine dans R bien qu'il soit
réductible. J'ai cependant vu cette démonstration: x^3x-1 est irréductible
dans Q[x] car il n'a pas de racine dans Q

[Anonyme]

Antoine wrote:

> Y a t-il un lien entre le fait qu'un polynome n'ait pas de racine dans un
> corps et le fait qu'il soit irréductible?
> Je pense que non, puisque x^4+1 n'a pas de racine dans R bien qu'il soit
> réductible. J'ai cependant vu cette démonstration: x^3x-1 est irréductible
> dans Q[x] car il n'a pas de racine dans Q
>
Ce doit être le polynôme x^3+x-1, non?
Dans ce cas, si ton polynôme, de dégré 3, etait réductible dans Q[x], il
s'écrirait sous la forme d'un produit de deux polynômes de Q[x], un de
degré 1 et un de degré 2. Le polynôme de degré 1 te donne alors une
racine du polynôme dans Q.

[Anonyme]

"Zelian" a écrit dans le message de
news:cb951k$bon$1@news.u-bordeaux.fr...
> Antoine wrote:
>[color=green]
> > Y a t-il un lien entre le fait qu'un polynome n'ait pas de racine dans[/color]
un[color=green]
> > corps et le fait qu'il soit irréductible?
> > Je pense que non, puisque x^4+1 n'a pas de racine dans R bien qu'il soit
> > réductible. J'ai cependant vu cette démonstration: x^3x-1 est[/color]
irréductible[color=green]
> > dans Q[x] car il n'a pas de racine dans Q
> >
> Ce doit être le polynôme x^3+x-1, non?[/color]
non

[Anonyme]

Antoine wrote:[color=green]
>>
>>Ce doit être le polynôme x^3+x-1, non?
>
> non
>[/color]

ah...
Tu peux redonner le polynôme alors?

[Anonyme]

> Tu peux redonner le polynôme alors?
>
Pardon, je n'avais pas vu mon erreur de frappe.

Le polynome en question est x^3-x-1

[Anonyme]

Antoine wrote:[color=green]
>>Tu peux redonner le polynôme alors?
>>
>
> Pardon, je n'avais pas vu mon erreur de frappe.
>
> Le polynome en question est x^3-x-1
>
>[/color]
OK
De toute façon, cela ne change rien à l'argument.

[Anonyme]

> OK
> De toute façon, cela ne change rien à l'argument.
>

Je suis d'accord. Peut-on généraliser?

[Anonyme]

> Je suis d'accord. Peut-on généraliser?

En partie...
Un polynôme de degré n à coefficients dans k est irréductible si, et
seulement si, il n'a de racine dans aucune extension K de k de degré
inférieur ou égal à n/2 (l'argument est à peu près le même... et on retrouve
ce qu'on vient de dire dans le cas n=2 ou 3).

--
Maxi

[Anonyme]

Maxi wrote:[color=green]
>>Je suis d'accord. Peut-on généraliser?
>
>
> En partie...
> Un polynôme de degré n à coefficients dans k est irréductible si, et
> seulement si, il n'a de racine dans aucune extension K de k de degré
> inférieur ou égal à n/2 (l'argument est à peu près le même... et on retrouve
> ce qu'on vient de dire dans le cas n=2 ou 3).
>[/color]
Merci pour cette précision. Je pensais bien que ce que j'avais dit se
généralisait plus ou moins de cette façon, mais n'étant que très peu
familier avec ce genre de théorie, j'avais préféré m'abstenir