à "oups" (et aux autres) - géométrie

[Anonyme]

Bonjour à toutes et à tous,

Le 1er février, "oups" a posté le message suivant :

>Bon, les hypothèses sont très simples mais j' y arrive pas !!!

>Soit un triangle qcq, l'orthocentre H. Soit I le symétrique de H par
rapport
>à un des côtés.
>Pourquoi I appartient au cercle circonscrit au triangle ?

>merci de votre aide.

Ces jours-ci, en classe de maths, on ne fait plus que des statistiques (que
je n'apprécie
pas de trop). Alors, pour compenser, je me suis amusé à essayer de résoudre
ce problème de
géométrie. Et, avec un peu de retard (désolé), voilà ma solution, pour toi
"oups" si tu es
toujours à l'écoute, et pour ceux aussi que ça intéresserait.

A première vue, ma démonstration a l'air un peu compliquée, mais en fait
elle ne fait
appel qu'à quelques connaissances vraiment basiques en géométrie algébrique.
(A propos, au
cas où il existerait une démonstration avec la géométrie classique, je suis
preneur, car
je ne l'ai pas trouvée).

Je crois bien ne pas m'être trompé (?), mais on ne sait jamais. Alors, si
quelqu'un trouve
un couac dans ma démonstration, merci de me le signaler.

J'y vais :

Soit un repère orthonormal.
Plaçons, dans ce repère, un triangle quelconque de façon telle que deux de
ses sommets soient sur l'axe des abscisses et le troisième sur l'axe des
ordonnées.
Arbitrairement, appelons "A" le sommet situé "à gauche" sur l'axe des
abscisses, "B" le
sommet situé "à droite" sur l'axe des abscisses, et "C" le troisième.
Les coordonnées des trois points A, B, et C sont :
A(a;0)
B(b;0)
C(0;c)
pour a,b, et c = trois réels, avec, puisque A, B et C ne sont pas alignés,
l'ordonnée de C
différente de zéro (c différent de 0), ce qui autorisera la division par "c"
au cours des
calculs.

Calcul des coordonnées de l'orthocentre "H"
--------------------------------------------
H est le point de concourance des trois hauteurs du triangle.
Calculons d'abord l'équation de deux d'entre elles (deux c'est suffisant)
puis les
coordonnées de leur point d'intersection (autrement dit de H) :

1a) On connaît déjà l'équation d'une des hauteurs : celle issue de C : c'est
l'axe des
ordonnées. L'équation est donc "x = 0"

1b) calculons maintenant l'équation de la droite portant la hauteur issue de
A et
perpendiculaire à BC :
les composantes du vecteur BC = (0-b ; c-0) = (-b ; c). Et le vecteur
(que
j'appelle "u") qui lui est perpendiculaire = u(c ; b).
La droite perpendiculaire à BC, portant le vecteur "u", et passant
par A(a,0) a
donc pour équation :
y = (b/c)*x + [ 0 - (b/c)a ] = (b/c)*x - [(ab)/c]

2) L'intersection des deux hauteurs a donc lieu en x=0 et y= -(ab)/c
Ce sont les coordonnées de H : H (0 ; -(ab)/c)


Calcul des coordonnées du centre "Q" du cercle circonscrit
------------------------------------------------------------
Q est le point de concourance des trois médiatrices du triangle.

Calculons d'abord l'équation de deux d'entre elles (encore une fois, deux ce
sera
suffisant) puis les coordonnées de leur point d'intersection :

1a) La médiatrice M1 du segment [AB] :
Elle passe par le milieu "m1" de [AB], milieu dont les coordonnées
sont : m1
((a+b)/2 ; 0)
et comme elle est parallèle à l'axe des ordonnées, son équation est :
x = (a+b)/2

1b) la médiatrice M2 du segment [BC] :
Elle passe par le milieu "m2" de [BC], milieu dont les coordonnées
sont : m2 (b/2 ;
c/2)
La droite perpendiculaire à (BC), portant donc le vecteur "u" de tout
à l'heure, et
passant par m2 a donc pour équation :
y = (b/c)*x + (c/2) - (b²/(2c)) = (b/c)*x + (c²-b²)/(2c)

2) l'intersection des deux médiatrices se fait donc en :
x = (a+b)/2 et y = (b/c)*( (a+b)/2 ) + ( (c²-b²)/(2c) ), ce qui donne
après
simplification
y = (ab + c²) / (2c)

Q, le centre du cercle circonscrit, a donc pour coordonnées :
Q ( (a+b)/2 ; (ab + c²)/(2c) )


Calcul du rayon "R" du cercle circonscrit et de l'équation de ce cercle
circonscrit
----------------------------------------------------------------------------
-----
R² = vecteur(AQ)² = ( [(a+b)/2] - a )² + ( [(ab + c²) / (2c)] - 0 )², ce
qui donne après
simplification :
R² = ((b-a)/2)² + ((ab + c²) / (2c))².

Connaissant les coordonnées de Q et la valeur de R, on peut dire que
l'équation du cercle
circonscrit s'écrit :
( x - ((a+b)/2) )² + ( y - ((ab + c²)/(2c)) )² = ((b-a)/2)² + ((ab + c²)
/ (2c))²

ce qui donne après simplification :

x² + y² - (a+b)*x - ((ab+c²)/c)*y + ab = 0


Démonstration proprement dite de ce qui a été demandé
---------------------------------------------------------
H, on l'a vu, a pour coordonnées : H (0 ; -(ab)/c)
Donc les coordonnées de son symétrique I par rapport au côté AB (qui d'après
notre
construction est sur l'axe des abscisses) du triangle ABC valent :
I (0 ; (ab)/c)
et quand on transpose les valeurs x=0 et y= (ab/c) dans l'équation du cercle
circonscrit
qu'on vient de calculer, cette équation vaut bien zéro.

Donc, le symétrique I de H par rapport au côté AB est bien un point du
cercle circonscrit.

Ayant placé le triangle quelconque dans le repère comme on l'a précisé au
début, on vient de
démontrer que le symétrique I de H par rapport à AB est sur le cercle
circonscrit.

Maintenant, si on place sur l'axe des abscisses un des deux autres côtés du
même triangle
quelconque, tout en conservant l'emplacement des lettres déjà utilisé (je
veux dire que, sur
l'axe des abscisses, on appelle encore "A" le sommet "de gauche" et "B" le
sommet "de
droite"), et tout en conservant les coordonnées littérales des points A, B
et C ( :
A(a;0), B(b;0) , C(0;c) ), exactement par le même calcul, on démontrera
encore la même
chose, à savoir que "le symétrique I de H par rapport à AB est sur le cercle
circonscrit",
mais ce côté "AB"-là sera en fait le côté BC ou le côté CA du cas qui a déjà
été démontré.

Donc le symétrique de H par rapport à BC ou à CA sont aussi sur le cercle
circonscrit.

Bref, les trois symétriques de H par rapport aux trois côtés du triangle
quelconque sont sur le
cercle circonscrit.

Voilà, c'est fini ! Merci à ceux qui m'ont lu jusqu'au bout.

Gibbs.