à oups (et les autres)

[Anonyme]

Bonjour à toutes et à tous,

Le 1er février, "oups" a posté le message suivant :

>Bon, les hypothèses sont très simples mais j' y arrive pas !!!

>Soit un triangle qcq, l'orthocentre H. Soit I le symétrique de H par rapport
>à un des côtés.
>Pourquoi I appartient au cercle circonscrit au triangle ?

>merci de votre aide.

Ces jours-ci, en classe de maths, on ne fait plus que des statistiques (que je n'apprécie
pas de trop). Alors, pour compenser, je me suis amusé à essayer de résoudre ce problème de
géométrie. Et, avec un peu de retard (désolé), voilà ma solution, pour toi "oups" si tu es
toujours à l'écoute, et pour ceux aussi que ça intéresserait.

A première vue, ma démonstration a l'air un peu compliquée, mais en fait elle ne fait
appel qu'à quelques connaissances vraiment basiques en géométrie algébrique. (A propos, au
cas où il existerait une démonstration avec la géométrie classique, je suis preneur, car
je ne l'ai pas trouvée).

Je crois bien ne pas m'être trompé (?), mais on ne sait jamais. Alors, si quelqu'un trouve
un couac dans ma démonstration, merci de me le signaler.

J'y vais :

Soit un repère orthonormal.
Plaçons, dans ce repère, un triangle qcq de façon telle que deux de ses sommets soient sur
l'axe des abscisses et le troisième sur l'axe des ordonnées.
Arbitrairement, appelons "A" le sommet situé "à gauche" sur l'axe des abscisses, "B" le
sommet situé "à droite" sur l'axe des abscisses, et "C" le troisième.
Les coordonnées des trois points A, B, et C sont :
A(a;0)
B(b;0)
C(0;c)
pour a,b, et c = trois réels, avec, puisque A, B et C ne sont pas alignés, l'ordonnée de C
différente de zéro (c différent de 0), ce qui autorisera la division par "c" au cours des
calculs.

Calcul des coordonnées de l'orthocentre "H"
--------------------------------------------
H est le point de concourance des trois hauteurs du triangle.
Calculons d'abord l'équation de deux d'entre elles (deux c'est suffisant) puis les
coordonnées de leur point d'intersection (autrement dit de H) :

1a) On connaît déjà l'équation d'une des hauteurs : celle issue de C : c'est l'axe des
ordonnées. L'équation est donc "x = 0"

1b) calculons maintenant l'équation de la droite portant la hauteur issue de A et
perpendiculaire à BC :
les composantes du vecteur BC = (0-b ; c-0) = (-b ; c). Et le vecteur (que
j'appelle "u") qui lui est perpendiculaire = u(c ; b).
La droite perpendiculaire à BC, portant le vecteur "u", et passant par A(a,0) a
donc pour équation :
y = (b/c)*x + [ 0 - (b/c)a ] = (b/c)*x - [(ab)/c]

2) L'intersection des deux hauteurs a donc lieu en x=0 et y= -(ab)/c
Ce sont les coordonnées de H : H (0 ; -(ab)/c)


Calcul des coordonnées du centre "Q" du cercle circonscrit
------------------------------------------------------------
Q est le point de concourance des trois médiatrices du triangle.

Calculons d'abord l'équation de deux d'entre elles (encore une fois, deux ce sera
suffisant) puis les coordonnées de leur point d'intersection :

1a) La médiatrice M1 du segment [AB] :
Elle passe par le milieu "m1" de [AB], milieu dont les coordonnées sont : m1
((a+b)/2 ; 0)
et comme elle est parallèle à l'axe des ordonnées, son équation est : x = (a+b)/2

1b) la médiatrice M2 du segment [BC] :
Elle passe par le milieu "m2" de [BC], milieu dont les coordonnées sont : m2 (b/2 ;
c/2)
La droite perpendiculaire à (BC), portant donc le vecteur "u" de tout à l'heure, et
passant par m2 a donc pour équation :
y = (b/c)*x + (c/2) - (b²/(2c)) = (b/c)*x + (c²-b²)/(2c)

2) l'intersection des deux médiatrices se fait donc en :
x = (a+b)/2 et y = (b/c)*( (a+b)/2 ) + ( (c²-b²)/(2c) ), ce qui donne après
simplification
y = (ab + c²) / (2c)

Q, le centre du cercle circonscrit, a donc pour coordonnées : Q ((a+b)/2 ; (ab + c²) /
(2c))


Calcul du rayon "R" du cercle circonscrit et de l'équation de ce cercle circonscrit
---------------------------------------------------------------------------------
R² = vecteur(AQ)² = ( [(a+b)/2] - a )² + ( [(ab + c²) / (2c)] - 0 )², ce qui donne après
simplification :
R² = ((b-a)/2)² + ((ab + c²) / (2c))².

Connaissant les coordonnées de Q et la valeur de R, on peut dire que l'équation du cercle
circonscrit s'écrit :
( x - ((a+b)/2) )² + ( y - ((ab + c²)/(2c)) )² = ((b-a)/2)² + ((ab + c²) / (2c))²

ce qui donne après simplification :

x² + y² - (a+b)*x - ((ab+c²)/c)*y + ab = 0


Démonstration proprement dite de ce qui a été demandé
---------------------------------------------------------
H, on l'a vu, a pour coordonnées : H (0 ; -(ab)/c)
Donc les coordonnées de son symétrique I par rapport au côté AB (qui d'après notre
construction est sur l'axe des abscisses) du triangle ABC valent :
I (0 ; (ab)/c)
et quand on transpose les valeurs x=0 et y= (ab/c) dans l'équation du cercle circonscrit
qu'on vient de calculer, cette équation vaut bien zéro.

Donc, le symétrique I de H par rapport au côté AB est bien un point du cercle circonscrit.

Ayant placé le triangle qcq dans le repère comme on l'a précisé au début, on vient de
démontrer que le symétrique I de H par rapport à AB est sur le cercle circonscrit.

Maintenant, si on place sur l'axe des abscisses un des deux autres côtés du même triangle
qcq, tout en conservant l'emplacement des lettres déjà utilisé (je veux dire que, sur
l'axe des abscisses, on appelle encore "A" le sommet "de gauche" et "B" le sommet "de
droite"), et tout en conservant les coordonnées littérales des points A, B et C ( :
A(a;0), B(b;0) , C(0;c) ), exactement par le même calcul, on démontrera encore la même
chose, à savoir que "le symétrique I de H par rapport à AB est sur le cercle circonscrit",
mais cet AB-là sera en fait le côté BC ou le côté CA du cas qui a déjà été démontré.

Donc le symétrique de H par rapport à BC ou à CA sont aussi sur le cercle circonscrit.

Bref, les trois symétriques de H par rapport aux trois côtés du triangle qcq sont sur le
cercle circonscrit.

Voilà, c'est fini ! Merci à ceux qui m'ont lu jusqu'au bout.

Gibbs.

[Anonyme]

Bonjour,

Gibbs a écrit:
> Bonjour à toutes et à tous,
>
> Le 1er février, "oups" a posté le message suivant :
>[color=green]
>>Soit un triangle qcq, l'orthocentre H. Soit I le symétrique de H par rapport
>>à un des côtés.
>>Pourquoi I appartient au cercle circonscrit au triangle ?
>
> A première vue, ma démonstration a l'air un peu compliquée, mais en fait elle ne fait
> appel qu'à quelques connaissances vraiment basiques en géométrie algébrique. (A propos, au
> cas où il existerait une démonstration avec la géométrie classique, je suis preneur, car
> je ne l'ai pas trouvée).[/color]
[snip demonstartion algébrique]

FDH avait donné l'indice clé...
angle AHB = AIB (symétrie)
angle AHB et BAC égaux ou supplémentaires
car HA_|_BC et HB_|_AC
les angles AIB et BAC égaux ou supplémentaires =>
I sur le cercle (ABC)
Exercice : à rendre rigoureux avec des angles de droites orientés, et la
cns pour que ABCI cocycliques (ou alignés, mais si ABC pas dégénéré...)
(CA,CB) = (IA,IB) modulo pi.

autre démo :
Soit G l'isobarycentre, O le centre du cercle ABC et A' le milieu de BC
Prouver que vecteurs 3*OG - OH = 2*OA' - AH, en déduire que
vecteurs 2*OA' = AH.
Soit O' le symétrique de O par rapport à BC.
vecteur OO'=AH donc les longueurs O'H=OA et comme O'B=O'C=OB=OA,
le cercle circonscrit à BHC est le symétrique par rapport à BC du cercle
circonscrit à ABC.

--
philippe
(chephip à free point fr)

[Anonyme]

"philippe 92" a écrit dans le message news:
4028F1B3.9040000@free.invalid...
> Bonjour,
>
> [snip demonstartion algébrique]
>
> FDH avait donné l'indice clé...

Oui, ben, je m'en suis tiré avec les moyens du bord. Je n'ai pas pu exploiter l'indice de
FDH car...je ne l'ai pas compris, tout simplement. J'aurais peut-être dû signaler dans mon
premier message que mes connaissances en géométrie se limitent à ce que j'ai appris au
collège. Maintenant, voilà un an et demi au moins qu'on ne fait plus de géométrie, si ce
n'est avec les vecteurs (mais j'ai du mal à m'y faire et je serais bien incapable de
démontrer quoi que ce soit par moi-même avec eux) ou avec la trigonométrie (mais ça c'est
un cas "particulier" de la géométrie) ou encore avec... la géométrie algébrique que j'ai
précisément utilisée pour ma démonstration.

Merci pour tes deux démonstrations (tu auras deviné que je suis "moins mal à l'aise" avec
la seconde qu'avec la première), c'est sympa !

Gibbs.