Norme p

[Anonyme]

Bonjour,

Comment démontre t-on que dans un espace vectoriel normé, pour tout
vecteur x, la norme p-ième de x 'converge' bien vers la norme infini de x
lorsque p tend vers l'infini ?

De plus, est-ce que quelqu'un a entendu parler d'un sujet de concours qui
comporte cette question ? Et si oui lequel (je sais qu'il existe)

Merci

[Anonyme]

Je crois qu'il faut que f soit positive continue sur [ab]
Comme [ab] est compact f continue, alors f la norme infinie de f est M
f^p <=M^p
Tu integres cette inégalité sur [ab], tu passes a la puissance 1/p, tu fais
tendres p vers l'infini, puis tu obtiens II f II p <=M

Pour l'autr égalité il faut dire qu'il existe [cd] inclus dans [ab] tel que
x est dans [cd] implique M - epsilon<= f(x)
tu passes a la puissnce p, puis tu integres sur [cd] , comme int( c,d
...f)<int(a,b...f) et en jouant sur les inégalités tu arrives à M - epsilon
<= IIfIIp

voila j'espère que c'est clair.
On doit pouvoir trouver un contre exemple si f n'est pas positive....

[Anonyme]

"Jeff" a écrit dans le message de news:
pan.2004.11.08.16.15.48.58156@wanadoo.fr...
> Bonjour,
>
> Comment démontre t-on que dans un espace vectoriel normé, pour tout
> vecteur x, la norme p-ième de x 'converge' bien vers la norme infini de x
> lorsque p tend vers l'infini ?
>
> De plus, est-ce que quelqu'un a entendu parler d'un sujet de concours qui
> comporte cette question ? Et si oui lequel (je sais qu'il existe)
>
> Merci

[Anonyme]

Mince comme un mauvais élève j'ai mal lu la question !!!

[Anonyme]

Le Mon, 08 Nov 2004 18:39:27 +0100, Fabien Cayla a écrit :

>
> Mince comme un mauvais élève j'ai mal lu la question !!!

C'est possible en effet...

[Anonyme]

Jeff wrote:
> Le Mon, 08 Nov 2004 18:39:27 +0100, Fabien Cayla a écrit :
>
>[color=green]
>>Mince comme un mauvais élève j'ai mal lu la question !!!
>
>
> C'est possible en effet...[/color]

Il aurait fallu preciser de quel espace vous parliez.
R^n (dimension finie)
Un sous espace de R^N (celui les suites reelles, qui sont dans tous
les l^p, en fait il suffit qu'elles soient dans l^1)
les fonctions continues sur un compact.
les fonctions definies sur un compact et qui possedent des moments
d'ordre p pour tout p>=1.
Les fonctions definies sur un ouvert...
....

Dans chaque cas la demonstration est legerement, voire tres differente
des autres cas.

De plus, ca m'etonerait qu'un sujet de concours passe plus de deux
questions sur le cas de la dimension finie.

Alors, de quel espace parliez-vous?

--
Saïd.

[Anonyme]

Le Tue, 09 Nov 2004 12:13:00 +0100, Saïd a écrit :

> Jeff wrote:[color=green]
>> Le Mon, 08 Nov 2004 18:39:27 +0100, Fabien Cayla a écrit :[/color]

> Alors, de quel espace parliez-vous?

Dimension finie
Je croyais l'avoir spécifié, desolé.
Maintenant le cas des espaces de fonctions m'interesseraient aussi

[Anonyme]

Jeff wrote:
> Le Tue, 09 Nov 2004 12:13:00 +0100, Saïd a écrit :
>
>[color=green]
>>Jeff wrote:
>>[color=darkred]
>>>Le Mon, 08 Nov 2004 18:39:27 +0100, Fabien Cayla a écrit :
>>[/color]
>
>> Alors, de quel espace parliez-vous?
>
>
> Dimension finie
> Je croyais l'avoir spécifié, desolé.
> Maintenant le cas des espaces de fonctions m'interesseraient aussi[/color]

Par exemple:
Si f est continue sur un intervalle ferme de longueur l finie. (on prend
f positive pour eviter d'ecrire |f(x)| ) on suppose f non nulle (sinon,
c'est trivial).

f est bornée et atteint son maximum M>0.
Soit e>0 (pour epsilon).
Soit A={x, f(x)>M-e}
par continuite de f la mesure de A (i.e., integrale sur A de la
fonction constante egale a 1) est non nulle, on la note a.

1) J'ai (int f^p)^(1/p) infini) donc il existe un p_0 a partir duquel

M*(l^1/p) (M-e)*a^(1/p) (car f>=M-e sur A)
la encore a^1/p tend vers 1. donc a partir d'un certain p_1
(int f^p)^1/p>(M-e)(1-e)=M-e(1+M)+e^2>=M-e(M+1)

Donc la nomre p-ieme de f tend bien vers M (qui est la norme infinie
de f).

--
Saïd.

[Anonyme]

"Jeff" a écrit dans le message de news:
pan.2004.11.09.16.28.49.119183@wanadoo.fr...
> Le Tue, 09 Nov 2004 12:13:00 +0100, Saïd a écrit :
>[color=green]
> > Jeff wrote:
> Maintenant le cas des espaces de fonctions m'interesseraient aussi[/color]

C'est la demo que j'avais faite !!mais ptre qu'elle n'était pas claire.

Pour un evn de dim finie, il me semble qu'il faut prendre une hyp
supplémentaire : toutes les composantes de x doivent être positive.
Bon à ce moment là c'est pas très dur
x = (x1,x2, xi, xn)
applelons xj leur sup
xj^p < x1^p + ...xn^p < n xj^p
on passe ensuite à la puissnace 1/p et ça nous donne ce qu'on veut ( si j'ai
pas fait d'erreur..)

[Anonyme]

Le Tue, 09 Nov 2004 18:31:28 +0100, Fabien Cayla a écrit :


> supplémentaire : toutes les composantes de x doivent être positive.

Pas la peine car il y a normalement des valeurs absolues dans la norme

> Bon à ce moment là c'est pas très dur

En effet, c'est élémentaire...