Morphismes de groupes de Sn dans C*

[Anonyme]

Je crois avoir déjà vu un exercice que je ne retrouve pas et que je n'arrive
pas à refaire.

Il s'agit de montrer qu'il existe uniquement 2 morphismes du groupe
symétrique (Sn, rond) (ensemble de bijections de {1..n} dans {1..n}), dans
le groupe multiplicatif (C*, x) :
1°) le morphsime trivial, qui à toute permutation associe le nombre 1
élèment neutre de C*
2°) la signature.
Il n'y en a pas d'autres.

Quelqu'un se souviendrait-il de la manière dont on démontre ça ?
Merci beaucoup.
Romain.

[Anonyme]

"Romain M" a écrit dans le message de news:
416d24fa$0$6044$626a14ce@news.free.fr...
> Je crois avoir déjà vu un exercice que je ne retrouve pas et que je
n'arrive
> pas à refaire.
>
> Il s'agit de montrer qu'il existe uniquement 2 morphismes du groupe
> symétrique (Sn, rond) (ensemble de bijections de {1..n} dans {1..n}), dans
> le groupe multiplicatif (C*, x) :
> 1°) le morphsime trivial, qui à toute permutation associe le nombre 1
> élèment neutre de C*
> 2°) la signature.
> Il n'y en a pas d'autres.

Soit f un morphisde Sn dans C*
toute permutation s'écrit comme le produit de transpositions donc il suffit
d'évaluer la valeur de toute transposition t=(i,j)
Puisque t^2=1 alors f(t^2)=1 (f(t))^2=1 f(t)=+/-1
Ensuite, si t=(i,j) et t'=(a,b) deux transpositions distinctes (donc
{i,j}{a,b})

1/ Supposons que {i,j,a,b} est formé de 3 éléments, par exemple j=b
alors (i,j)=(i,b) et l'on a
(a,i)(i,b)(a,i)=(a,b) f[(a,i)(i,b)(a,i)]=f(a,b)
f((a,i))f(i,b))f(a,i)=f(a,b) (f(a,i))^2f(i,b)=f(a,b)
f(i,b)=f(a,b) f(i,j)=f(a,b) (puisque f(a,i)=+/-1)
Donc si deux transpositions t et t' ne sont pas disjointes alors f(t)=f(t')

2/ si t=(i,j) et t'=(a,b) sont deux transpositions disjointes (donc a,b,i,j
sont quatre entiers distincts)
alors (a,i)(i,j)(a,i)=(a,j) et (b,j)(a,j)(b,j)=(a,b)
donc (b,j)(a,i)(i,j)(a,i)(b,j)=(a,b)
en passant à f on obtient que f(i,j)=f(a,b)
donc deux transpositions de support disjoint ont même image par f.

Par conséquent, on a montré que toutes les transpositions ont la même image
par f. Notons c cette image commune (elle ne dépend que de f et non des
transpositions)
Soit S une permutation S=t1*t2*...*tm où les ti sont des transpositions
alors f(S)=c^m
Si c=1 alors f(S)=1 pour tout S donc f=Id
Si c=-1 alors f(S)=(-1)^m où m est le nombre de transposition formant S donc
f(S)=signature de S (par définition de la signature)

cqfd

********************
http://www.mathematiques.fr.st
40 exos de sup et 20
exos de spé corrigés
supplémentaires
********************

[Anonyme]

masterbech a écrit:
> "Romain M" a écrit dans le message de news:
> 416d24fa$0$6044$626a14ce@news.free.fr...
>
>
> Soit f un morphisde Sn dans C*
> toute permutation s'écrit comme le produit de transpositions donc il suffit
> d'évaluer la valeur de toute transposition t=(i,j)
> Puisque t^2=1 alors f(t^2)=1 (f(t))^2=1 f(t)=+/-1
> Ensuite, si t=(i,j) et t'=(a,b) deux transpositions distinctes (donc
> {i,j}{a,b})
On peut aussi montrer que pour toute permutation g on a
g°t°g^(-1)=(g(i),g(j)) , or il existe une permutation g telle que g(i)=a
et g(j)=b , d'où g°t°g^(-1)=t' et donc f(t)=f(t').
On a le même résultat avec les morphismes du groupe orthogonal
O(n,R)dans R* , les réflexions engendrent le groupe orthogonal , elles
sont conjuguées dans O(n,R) donc on obtient le morphisme constant égal à
1 et le déterminant .
YB

[Anonyme]

Impeccable.
J'aurais au moins du penser tout seul à utiliser les transpositions !
Merci.

"masterbech" a écrit dans le message de news:
416d5459$0$9075$626a14ce@news.free.fr...
>
>
>
> "Romain M" a écrit dans le message de news:
> 416d24fa$0$6044$626a14ce@news.free.fr...[color=green]
> > Je crois avoir déjà vu un exercice que je ne retrouve pas et que je
> n'arrive
> > pas à refaire.
> >
> > Il s'agit de montrer qu'il existe uniquement 2 morphismes du groupe
> > symétrique (Sn, rond) (ensemble de bijections de {1..n} dans {1..n}),[/color]
dans[color=green]
> > le groupe multiplicatif (C*, x) :
> > 1°) le morphsime trivial, qui à toute permutation associe le nombre 1
> > élèment neutre de C*
> > 2°) la signature.
> > Il n'y en a pas d'autres.
>
> Soit f un morphisde Sn dans C*
> toute permutation s'écrit comme le produit de transpositions donc il[/color]
suffit
> d'évaluer la valeur de toute transposition t=(i,j)
> Puisque t^2=1 alors f(t^2)=1 (f(t))^2=1 f(t)=+/-1
> Ensuite, si t=(i,j) et t'=(a,b) deux transpositions distinctes (donc
> {i,j}{a,b})
>
> 1/ Supposons que {i,j,a,b} est formé de 3 éléments, par exemple j=b
> alors (i,j)=(i,b) et l'on a
> (a,i)(i,b)(a,i)=(a,b) f[(a,i)(i,b)(a,i)]=f(a,b)
> f((a,i))f(i,b))f(a,i)=f(a,b) (f(a,i))^2f(i,b)=f(a,b)
> f(i,b)=f(a,b) f(i,j)=f(a,b) (puisque f(a,i)=+/-1)
> Donc si deux transpositions t et t' ne sont pas disjointes alors
f(t)=f(t')
>
> 2/ si t=(i,j) et t'=(a,b) sont deux transpositions disjointes (donc
a,b,i,j
> sont quatre entiers distincts)
> alors (a,i)(i,j)(a,i)=(a,j) et (b,j)(a,j)(b,j)=(a,b)
> donc (b,j)(a,i)(i,j)(a,i)(b,j)=(a,b)
> en passant à f on obtient que f(i,j)=f(a,b)
> donc deux transpositions de support disjoint ont même image par f.
>
> Par conséquent, on a montré que toutes les transpositions ont la même
image
> par f. Notons c cette image commune (elle ne dépend que de f et non des
> transpositions)
> Soit S une permutation S=t1*t2*...*tm où les ti sont des transpositions
> alors f(S)=c^m
> Si c=1 alors f(S)=1 pour tout S donc f=Id
> Si c=-1 alors f(S)=(-1)^m où m est le nombre de transposition formant S
donc
> f(S)=signature de S (par définition de la signature)
>
> cqfd
>
> ********************
> http://www.mathematiques.fr.st
> 40 exos de sup et 20
> exos de spé corrigés
> supplémentaires
> ********************
>
>

[Anonyme]

> On a le même résultat avec les morphismes du groupe orthogonal
> O(n,R)dans R* , les réflexions engendrent le groupe orthogonal , elles
> sont conjuguées dans O(n,R) donc on obtient le morphisme constant égal à
> 1 et le déterminant .

Merci pour ce complément.