Isomorphisme de groupes

[Anonyme]

bonjour,

on desire démontrer ceci:

Soit G un groupe de cardinal p², avec p premier. Alors G est soit isomorphe à
Z/p²Z, soit à (Z/pZ)².


je prends un element x de G non réduit à l'element neutre(sinon son ordre
n'existe pas) , on a donc d'apres Lagrange o(x) divise p². Or p premier et x
non réduit à l'element neutre donc o(x) est dans {p,p²}

si o(x)=p², on a trouvé un element de G tel que son erdre est egale au cardinal
p² du groupe, donc G est cyclique, donc isomorphe à Z/p²Z ok.

Mais je n'arrive pas à traiter le cas o(x)=p.

avez vous une idée?

merci

[Anonyme]

Wenceslas wrote:

> o(x)=p.

Soit phi: Z -> G; n |-> n*1; où 1 est l'unité de G.
phi est linéaire, et Ker(phi) = pZ.

En effet, sinon G isomorphe à Z/p²Z.

Donc, on trouve un sg P de G isomorphe à Z/pZ.

On peut donc lui propager une structure de coprs, celle de Z/pZ, par phi:
x*y = phi(phi-1(x)*phi-1(y)).

Alors, G a une structure de ev sur P, de dmiension forcement finie, et g =
a_1*e_1 + a_2*e_2, car Card(G) = Card(P)^(dimension de G sur P) = p^2, et
G est isomorphe à Z/pZ par: g -> (phi-1(a_1);phi-1(a_2)).

Romain