Matrices à diagonale strictement dominante

[Anonyme]

Bonjour à tous,

Je bloque sur une question d'un exercice: là voilà:
On considère une matrice A=(aij) à diagonale strictement dominante (i.e
quelque soit i abs(aii)>sum(abs(aij),jdifférent de i).
On demande de prouver que M est inversible.
On est guidé: Soit X=(xi) un vecteur colonne tel que MX=0.
On suppose X différent de 0 et on note abs(x')=max(xi).

J'essaie d'écrire le produit de (M*X)=(bi)=sum(aik*xk,k=1..n)=0 Mais je
n'arrive pas à aboutir à une contradiction (j'ai essayé de passer aux
valeurs absolues mais sans succès).

Par la suite je vois comment conclure: le vecteur nul est le seul
élément de ker(u) avec u l'endomorphisme canoniquement associé à M.
Ainsi u est un automorphisme et donc M inversible.

Merci pour votre aide,
Cordialement,
Stéphane.
--
Stéphane Saje
http://perso.wanadoo.fr/stephane.saje/

[Anonyme]

- Stéphane Saje :


> Je bloque sur une question d'un exercice: là voilà:
> On considère une matrice A=(aij) à diagonale strictement dominante (i.e
> quelque soit i abs(aii)>sum(abs(aij),jdifférent de i).
> On demande de prouver que M est inversible.

par l'absurde, il existe b_1,..b_n non tous 0/ b_1C1+..+b_nCn=0
où Ci colonne i
soit k tq max(|bi|)=|bk|>0
b_k a_kk=-Sum(bj a_kj, jk)
|b_k| |a_kk|k)
|b_k| |a_kk|k)

contradiction

[Anonyme]

Eric a écrit :
> - Stéphane Saje :
>
>
>[color=green]
>>Je bloque sur une question d'un exercice: là voilà:
>>On considère une matrice A=(aij) à diagonale strictement dominante (i.e
>>quelque soit i abs(aii)>sum(abs(aij),jdifférent de i).
>>On demande de prouver que M est inversible.
>
>
> par l'absurde, il existe b_1,..b_n non tous 0/ b_1C1+..+b_nCn=0
> où Ci colonne i
> soit k tq max(|bi|)=|bk|>0
> b_k a_kk=-Sum(bj a_kj, jk)
> |b_k| |a_kk|k)
> |b_k| |a_kk|k)
>
> contradiction[/color]
Argggg.... ok merci.
Bonne soirée,
Stéphane Saje

--
Stéphane Saje
http://perso.wanadoo.fr/stephane.saje/

[Anonyme]

par l'absurde on suppose que les colonnes (ou lignes) sont liées et aprés on
tombe sur un e contradiction en isolant un des termes de la somme