[sup] Matrices diagonalisables

[Anonyme]

Bonjour,

Soient A et B deux matrices diagonalisables.

Est-ce que A+B et A.B sont encore diagonalisables ?

Pour A+B j'ai trouvé un contre-exemple. En fait il semble que si A+B est
une matrice triangulaire, dans certains cas ça ne marche pas. Pour A.B
je n'ai pas trouvé de contre-exemple.
Quelque un pourrait-il me donner les réponses à ces propriétés et les
idées de démonstrations ?

Merci BCP !

[Anonyme]

Clément wrote:
> Bonjour,
>
> Soient A et B deux matrices diagonalisables.
>
> Est-ce que A+B et A.B sont encore diagonalisables ?
>
> Pour A+B j'ai trouvé un contre-exemple. En fait il semble que si A+B est
> une matrice triangulaire, dans certains cas ça ne marche pas. Pour A.B
> je n'ai pas trouvé de contre-exemple.
> Quelque un pourrait-il me donner les réponses à ces propriétés et les
> idées de démonstrations ?
>
> Merci BCP !

Pas de contre-exemple pour l'instant, mais tu peux en chercher en
matrices 2*2, tu en trouveras : ça ne marche, pour le produit comme pour
la somme, que si les matrices sont diagonalisables dans une même base
(donc pour ton contre-exemple, cherche-le avec deux matrices
diagonalisables dans des bases différentes (une diagonale et une autre,
pour simplifier))
Bonne soirée

--
PA

[Anonyme]

"Clément" a écrit dans le message de news:
> Soient A et B deux matrices diagonalisables.
> Est-ce que A+B et A.B sont encore diagonalisables ?

Pas forcément.
Par contre, si A et B commutent, alors les deux résultats sont vrais.
Tu peux le démontrer.

[Anonyme]

On Tue, 27 Apr 2004 22:00:30 +0200, Clément wrote:
>Bonjour,
>
>Soient A et B deux matrices diagonalisables.
>
>Est-ce que A+B et A.B sont encore diagonalisables ?

Non, et non.

>Pour A+B j'ai trouvé un contre-exemple. En fait il semble que si A+B est
>une matrice triangulaire, dans certains cas ça ne marche pas. Pour A.B
>je n'ai pas trouvé de contre-exemple.

En dimension 2, le corps de base est R :

Soit C une matrice quelconque. Soit A = ((1 0) (0 0)).
C = ((x y) (z t))
C + mA = ((x+m y) (z t))

Le polynôme caractéristique de C + mA est :
P = det ((X - (x+m) -y) (-z X-t))
= (X-x-m)(X-t) -yz
= X^2 - (t+x+m)X - yz + t(x+m)
dont le discriminant vaut
(t+x+m)^2 + 4(yz -t(x+m))
qui est positif pour m assez grand.
Donc pour ces valeurs, C + mA est diagonalisable. A aussi.

Donc, si tu prends C non diagonalisable quelconque,
tu peux l'écire d'une infinité de façons différentes
comme somme de deux matrices diagonalisables (C+mA et -mA).

Maintenant, pour le produit :
soit A = ((1 1)(-1 1)) non diagonalisable mais inversible.
B = ((1 1) (1 1)) symétrique réelle donc diagonalisable.
AB = ((2 2) (0 0)) diagonalisable (sont p. car. a deux racines).

Donc (A^-1)(AB) est le produit non diagonalisable de deux
matrices diagonalisables.

--
Frédéric

[Anonyme]

Frederic a écrit :
> soit A = ((1 1)(-1 1)) non diagonalisable mais inversible.
> B = ((1 1) (1 1)) symétrique réelle donc diagonalisable.
> AB = ((2 2) (0 0)) diagonalisable (sont p. car. a deux racines).
>
> Donc (A^-1)(AB) est le produit non diagonalisable de deux
> matrices diagonalisables.

Bien tenté, on a failli y croire

--
Nico, qui a l'oeil, et le bon.

[Anonyme]

On Wed, 28 Apr 2004 23:55:32 +0200, Nicolas Richard wrote:
>Frederic a écrit :[color=green]
>> soit A = ((1 1)(-1 1)) non diagonalisable mais inversible.
>> B = ((1 1) (1 1)) symétrique réelle donc diagonalisable.
>> AB = ((2 2) (0 0)) diagonalisable (sont p. car. a deux racines).
>>
>> Donc (A^-1)(AB) est le produit non diagonalisable de deux
>> matrices diagonalisables.
>
>Bien tenté, on a failli y croire [/color]

Ouin, je m'ai embrouillé. Avec B = ((1 2) (2 1)), on
décompose (AB)(B^-1) et c'est bon. Enfin, j'espère...

--
Frédéric

[Anonyme]

"Clément" a écrit dans le message de news:
MZyjc.41575$zm5.19248@nntpserver.swip.net...
> Bonjour,
>
> Soient A et B deux matrices diagonalisables.
>
> Est-ce que A+B et A.B sont encore diagonalisables ?
>
> Pour A+B j'ai trouvé un contre-exemple. En fait il semble que si A+B est
> une matrice triangulaire, dans certains cas ça ne marche pas. Pour A.B
> je n'ai pas trouvé de contre-exemple.

essaye avec A et B deux matrices élémentaires dont le produit est nulle

[Anonyme]

"Clément" a écrit dans le message de
news:MZyjc.41575$zm5.19248@nntpserver.swip.net...
> Bonjour,
>
> Soient A et B deux matrices diagonalisables.
>
> Est-ce que A+B et A.B sont encore diagonalisables ?
>
> Pour A+B j'ai trouvé un contre-exemple. En fait il semble que si A+B est
> une matrice triangulaire, dans certains cas ça ne marche pas. Pour A.B
> je n'ai pas trouvé de contre-exemple.
> Quelque un pourrait-il me donner les réponses à ces propriétés et les
> idées de démonstrations ?
>
> Merci BCP !

Contre-exemple qui marche à la fois pour A.B et A+B :
A=
(-1 0)
( 0 1)
B=
(1 1)
(0 -1)