Matrices semblables et spectre

[Anonyme]

Bonjour,

On a A dans Mp(R), B et C dans Mq(R) et on suppose que Sp(A) ne rencontre pas
Sp(B). On demande de montrer que les matrices

A 0
0 B =M1 et

A C
0 B =M2 sont semblables.

en fait on veut montrer que M1 et M2 representent un même endomorphisme dans
deux bases différentes. Faut il construire explicitement les deux bases?

[Anonyme]

On 13 Jan 2004 18:40:46 GMT, navilys2001@aol.com (Wenceslas) wrote:

>Bonjour,
>
>On a A dans Mp(R), B et C dans Mq(R) et on suppose que Sp(A) ne rencontre pas
>Sp(B). On demande de montrer que les matrices
>
>A 0
>0 B =M1 et
>
>A C
>0 B =M2 sont semblables.
>
>en fait on veut montrer que M1 et M2 representent un même endomorphisme dans
>deux bases différentes. Faut il construire explicitement les deux bases?
>
une idée
on cherche P inversible telle que P*M1=M2*P2
et j'essaye P de la forme
I_p U
0 I_q
avec U matrice p*q (tout comme C)

on arrive tout de suite au fait que U doit vérifier
A*U-U*B=-C

et un résultat sur l'endomorphsime
U->A*U-U*B dit que le systéme ci-dessus est de Kramer
si toute valeur propre de A est diff de toute valeur propre de B
mais bon je ne sais si c'est l'esprit de l'exercice, parceque la démo
de ce résultat (qui peut s'obtenir dans le cadre du produit tensoriel,
ne me paraît pas évidente);

et encore , zut, dans mon énoncé A et B sont de même dimension , alors
que là ce n'est pas le cas ; mais bon la démo s'adapate peut être;


*****************

Pichereau Alain

adresse mail antispam : ôter antispam, les 3 lettres devant wana et bien sûr le .invalid

http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/

*****************

[Anonyme]

"Wenceslas" a écrit dans le message de news:
20040113134046.15174.00003044@mb-m04.aol.com...
> Bonjour,
>
> On a A dans Mp(R), B et C dans Mq(R) et on suppose que Sp(A) ne rencontre
pas
> Sp(B). On demande de montrer que les matrices
>
> A 0
> 0 B =M1 et
>
> A C
> 0 B =M2 sont semblables.

Il est obligatoire que p=q (pour que M1 et M2 soient des matrices carrées)

**
Supposons A et B sont diagonalisables dans C.
**
Soient P1 et P2 leurs polynômes minimaux respectivement associés. Ils sont
donc à racines simples.
Il est immédiat que P1*P2 est un polynôme annulateur de M1 et M2.
Puisque les spectres de A et de B ne se rencontrent pas, P1*P2 est un
polynôme annulateur de M1 (et de M2) à racines simples.
En particulier M1 et M2 sont diagonalisables sur C.
Tu te rappelles que pour tout endomorphisme diagonalisable u, la
multiplicité d'une valeur propre z dans le polynôme caractéristique de u est
égale à la dimension de l'espace propre correspondant.
Notons T(A), T(B), T(M1) et T(M2) les polynômes caractéristiques des
matrices correspondantes.
Il est immédiat que T(M1)=T(M2)=T(A)*T(B).
En utilisant la multiplicité de chaque valeur propre, tu obtiens que
1/ Sp(M1)=Sp(M2)
2/ pour chaque valeur propre z de M1 et M2, dim(E_z(M1))=dim(E_z(M2)).
Soit D la matrice diagonale dont la diagonale est composé des différentes
valeurs propres de M1 (qui sont celles de M2 aussi), chacune apparaissant
avec la multiplicité dim(E_z(M1))=dim(E_z(M2)).
Il existe deux matrices P et Q inversibles et complexes tel que P^(-1)M1P=D
et Q^(-1)M2Q=D (tu les diagonalises dans C)
Ainsi M1=[PQ^(-1)]M2[QP^(-1)]=[PQ^(-1)]M2[PQ^(-1)]^(-1)
les deux matrices M1 et M2 sont semblables sur C et comme elles sont
réelles, un lemme classique montre qu'elles sont semblables sur R. En
particulier, elles représentent le même endomorphisme.

**
cas général
**
Il est immédiat que Sp(M1)=Sp(M2)
je n'ai pas d'idées précises pour la suite (en tout cas, il est impossible
de raisonner par densité)

[Anonyme]

>
> Il est obligatoire que p=q (pour que M1 et M2 soient des matrices carrées)

remarque idiote (elle n'intervient pas de toute façon dans le raisonnement
précédent)

[Anonyme]

"masterbech" a écrit dans le message de news:
4005bd6f$0$24046$626a54ce@news.free.fr...
>[color=green]
> >
> > Il est obligatoire que p=q (pour que M1 et M2 soient des matrices[/color]
carrées)
>
> remarque idiote

non la remarque n'est pas idiote, il est impératif que p=q (regarde le
nombre de lignes et de colonnes pour M2 dans les cas p>q et p<q)

[Anonyme]

"Marc Pichereau" a écrit dans le
message de news: 40058cc4.6129172@news.wanadoo.fr...
> On 13 Jan 2004 18:40:46 GMT, navilys2001@aol.com (Wenceslas) wrote:

> une idée
> on cherche P inversible telle que P*M1=M2*P2
> et j'essaye P de la forme
> I_p U
> 0 I_q
> avec U matrice p*q (tout comme C)
>
> on arrive tout de suite au fait que U doit vérifier
> A*U-U*B=-C
>
> et un résultat sur l'endomorphsime
> U->A*U-U*B dit que le systéme ci-dessus est de Kramer
> si toute valeur propre de A est diff de toute valeur propre de B
> mais bon je ne sais si c'est l'esprit de l'exercice, parceque la démo
> de ce résultat (qui peut s'obtenir dans le cadre du produit tensoriel,
> ne me paraît pas évidente);
>
> et encore , zut, dans mon énoncé A et B sont de même dimension , alors
> que là ce n'est pas le cas ; mais bon la démo s'adapate peut être;

c'est effectivement la bonne idée.
Il est indispensable que p=q (cf mon post ci-dessous).
L'endomorphisme T(U)=AU-UB est la différence des deux endo G et D définis
par
G(U)=AU et D(U)=UB.
Un calcul direct montre que DoG=GoD donc ils commutent. Par conséquent, ils
sont cotrigonalisables.
On remarque que si P1 (resp. P2) est un polynôme annulateur de A (resp. B)
alors P1 (resp. P2) est un polynôme annulateur de G (resp. D).
En particulier, si l'on choisit pour P1 (resp. P2) le polynôme minimal de A
(resp. B), on obtient que le Sp(G) (resp. Sp(D) est inclu dans Sp(A) (resp.
Sp(B)).
En triogonalisant T dans une base trigonalisant simultannément G et D, on
obtient une matrice triangulaire dont chaque élément de la diagonale est
formée de la différence d'une valeur propre de A et d'une valeur propre de
B.
D'après l'hypothèse sur les spectres de A et de B, aucun élément de la
diagonale est nul donc T est inversible ce qui assure l'existence de U.
Pas mal ton idée.

[Anonyme]

Wenceslas wrote in message
:
> Bonjour,
>
> On a A dans Mp(R), B et C dans Mq(R) et on suppose que Sp(A) ne rencontre pas
> Sp(B).

J'imagine que tu voulais dire que C est dans M_(p,q)(R), et que Sp
désigne les valeurs propres complexes (et pas seulement réelles, sinon
c'est faux !), i.e. les racines du polynôme caractéristique.

> On demande de montrer que les matrices
> A 0
> 0 B =M1 et
>
> A C
> 0 B =M2 sont semblables.

Soit P la matrice inversible, définie par blocs :
( I_p D )
( 0 I_q )
où D est une matrice (p,q) que l'on va choisir.

L'équation matricielle
P * M1 = M2 * P
se réécrit en
AD - DB = -C (*)

Si on trouve une matrice D satisfaisant (*), on a gagné.

Pour cela, considérons l'endomorphisme de M_(p,q)(R) défini par :
f(M) = AM - MB

On veut montrer que f est surjectif, ce qui est équivalent au fait que f
est injectif (théorème du rang).

Soit donc M dans le noyau de f, i.e. telle que AM=MB.
On voit immédiatement que pour tout polynôme Q, on a Q(A) M = M Q(B).

Pour la suite, je me place dans les complexes C, et j'identifie A avec
un endomorphisme de C^p, B avec un endo de C^q, et M à une application
linéaire de C^q dans C^p.

Si x est dans un sous-espace caractéristique de B associé à la valeur
propre lambda, on a donc, en prenant Q(X) = (X-lambda)^q :
(A-lambda I_p)^q (M(x)) = 0

Autrement dit, M(x) est dans le sous-espace caractéristique (sec) de A
associé à lambda ; mais, comme Sp(A) et Sp(B) sont disjoints, ce sec
est réduit à {0}. Donc M(x) = 0.

Comme C^q est la somme directe des sec de B, on en déduit que M(x)=0
pour tout x, et donc M = 0.

Ce qui achève la démonstration.

--
Yann

[Anonyme]

"masterbech" wrote in message :
>
> "masterbech" a écrit dans le message de news:
> 4005bd6f$0$24046$626a54ce@news.free.fr...[color=green]
>>[color=darkred]
>> >
>> > Il est obligatoire que p=q (pour que M1 et M2 soient des matrices[/color]
> carrées)
>>
>> remarque idiote
>
> non la remarque n'est pas idiote, il est impératif que p=q (regarde le
> nombre de lignes et de colonnes pour M2 dans les cas p>q et p<q)[/color]


Houlà ! Quand on commence à se faire des remarques désobligeantes, puis
à y répondre soi-même, c'est mauvais signe pour sa santé mentale... ;o)

--
Yann