Jeu des cinq portes

[Anonyme]

Bonsoir a tous,

je souhaiterais avoir votre avi sur la théorie des probabilités
appliquée au jeu des cinq portes. Vous connaissez surrement ce problème,
si ce n'est pas le cas voici la situation:

C'est un jeu télévisé américain, 5 portes derriere l'une desquelle se
cache une voiture. Un candidat doit choisir une porte, par exemple il
choisi la porte 2.

A ce moment, le présentateur lui dit par exemple: La voiture n'est pas
derriere la porte 4. Voulez vous changez de porte ou garder la porte 2 ?

La il change de porte s'il veux. Ensuite on regarde s'il a gagné.

La question, c'est est-il utile de changer de porte ?
........
.....
...
..
..
..
..
..

La réponse est un grand oui, on a 33% de chance de gagner la voiture en
changeant de porte, et 20% en gardant son choix initial.

Etant donné que la voiture ne change jamais de place, se résultat a
bluffé pas mal de mathématiciens. Et pourtant le résultat est la, en
changeant la porte on se place dans un "nouveau jeu" dans lequel on a
1/4 de chance de succes contre 1/5 au départ. Sauf qu'un choix
possible de ce "nouveau jeux" est de garder son choix initial, puisque le
présentateur a éliminé une porte différente de celle que l'on a choisi...

Si qqn a quelques infos sur ce genre d'experiences a migraine, j'adore

[Anonyme]

Le 01/09/2004 01:08, Jeff a écrit :
>
> je souhaiterais avoir votre avi sur la théorie des probabilités
> appliquée au jeu des cinq portes. Vous connaissez surrement ce problème,
> si ce n'est pas le cas voici la situation:
>
> C'est un jeu télévisé américain, 5 portes derriere l'une desquelle se
> cache une voiture. Un candidat doit choisir une porte, par exemple il
> choisi la porte 2.

Dans le jeu original il n'y avait que 3 portes.

> A ce moment, le présentateur lui dit par exemple: La voiture n'est pas
> derriere la porte 4. Voulez vous changez de porte ou garder la porte 2 ?
>
> La il change de porte s'il veux. Ensuite on regarde s'il a gagné.
>
> La question, c'est est-il utile de changer de porte ?
> .......
>
> La réponse est un grand oui, on a 33% de chance de gagner la voiture en
> changeant de porte, et 20% en gardant son choix initial.

.... dont le total ne fait pas 100 % ?

Avec 5 portes, on a 80 % de chances de gagner la voiture en changeant de
porte, contre effectivement 20 % en gardant son choix initial.

> Etant donné que la voiture ne change jamais de place, se résultat a
> bluffé pas mal de mathématiciens. Et pourtant le résultat est la, en
> changeant la porte on se place dans un "nouveau jeu" dans lequel on a
> 1/4 de chance de succes contre 1/5 au départ.

Non, pas 1/4 (qui d'ailleurs vaudrait 25 % et pas les 33 % cités plus
haut) mais 4/5.

> [...]
>
> Si qqn a quelques infos sur ce genre d'experiences a migraine, j'adore

Fais une recherche sur "Monty Hall", éventuellement en te limitant aux
pages francophones. Tu tomberas sur le problème en question, et souvent
tu trouveras d'autres problèmes assimilés pas très loin.

[Anonyme]

Le Wed, 01 Sep 2004 00:26:15 +0200, Olivier Miakinen a écrit :

> Avec 5 portes, on a 80 % de chances de gagner la voiture en changeant de
> porte, contre effectivement 20 % en gardant son choix initial.

Et non !

Par le calcul on obtient bien 80% ca ok.
Mais des simulations ont été réalisés, et j'en ai fait une moi meme
pour en avoir le coeur net, avec des nombres suffisemment aléatoires,
graine variable dans le temps, et par cycle de 100 millions d'essais.

Résultats:

jeff@Anna:/mnt/hda1$ ./doors
Changement OUI: 26.668832% gagnés
Changement NON: 20.008509% gagnés


Ces résultats concordent avec les simulations "officielles" qui utilisent
des générateurs de nombre beaucoup plus élaboré.

Le probleme est godelien... la théorie a une faille quelque part

[Anonyme]

Le Wed, 01 Sep 2004 00:26:15 +0200, Olivier Miakinen a écrit :

> Avec 5 portes, on a 80 % de chances de gagner la voiture en changeant de
> porte, contre effectivement 20 % en gardant son choix initial.

Et avec 10 portes on a 99% de chances ?

[Anonyme]

"Jeff" a écrit dans le message de news:
pan.2004.08.31.23.08.55.442791@wanadoo.fr...
> Bonsoir a tous,
>
> je souhaiterais avoir votre avi sur la théorie des probabilités
> appliquée au jeu des cinq portes. Vous connaissez surrement ce problème,
> si ce n'est pas le cas voici la situation:
>
> C'est un jeu télévisé américain, 5 portes derriere l'une desquelle se
> cache une voiture. Un candidat doit choisir une porte, par exemple il
> choisi la porte 2.
>
> A ce moment, le présentateur lui dit par exemple: La voiture n'est pas
> derriere la porte 4. Voulez vous changez de porte ou garder la porte 2 ?
>
> La il change de porte s'il veux. Ensuite on regarde s'il a gagné.
>
> La question, c'est est-il utile de changer de porte ?

> La réponse est un grand oui, on a 33% de chance de gagner la voiture en
> changeant de porte, et 20% en gardant son choix initial.
>
> Etant donné que la voiture ne change jamais de place, se résultat a
> bluffé pas mal de mathématiciens. Et pourtant le résultat est la, en
> changeant la porte on se place dans un "nouveau jeu" dans lequel on a
> 1/4 de chance de succes contre 1/5 au départ. Sauf qu'un choix
> possible de ce "nouveau jeux" est de garder son choix initial, puisque le
> présentateur a éliminé une porte différente de celle que l'on a choisi...
>
> Si qqn a quelques infos sur ce genre d'experiences a migraine, j'adore

En fait, vous prenez le problème de façon incorrecte, il faut considérer
deux jeux totalement indépendants:

Soient 5 portes: A B C D E

Chaque porte a la probabilité 1/5 de découvrir la voiture, le choix est donc
indifférent entre A, B, C, D, ou E

notre joueur choisit la lettre B, (car c'est la première lettre de son nom
par exemple), c'est un choix rationnel, il aurait pu prendre n'importe
quelle lettre, elles représentent toutes la même probabilité d'avoir la
voiture, à savoir 1/5.

Le présentateur dit: "La voiture n'est pas derrière la lettre E".

A ce moment, nous nous trouvons dans un nouveau jeu: A B C D
dans ce jeu ci, chaque porte a cette fois la probabilité 1/4 de découvrir la
voiture, le choix est donc indifférent entre A, B, C, ou D.

Le choix de la lettre B représente donc, cette fois, la probabilité 1/4
d'avoir la voiture, au même titre que A, C ou D.

Dans cette optique où les 4 lettres ont exactement la même probabilité, il
n'est pas censé de dire que le joueur a INTERET à changer, celà lui est, en
fait, indifférent (s'il est rationnel).

L'absurdité de votre raisonnement consiste à penser que la porte B a
toujours 1/5 de chances contre 1/4 pour les autres, ce qui est évidemment
faux puisque 0,75 + 0,2 = 0,95 et pas 1.

Jean Dufac.

[Anonyme]

Catilina a écrit :

>
> En fait, vous prenez le problème de façon incorrecte, il faut
> considérer deux jeux totalement indépendants:

Pas *totalement* indépendants non plus...

> Soient 5 portes: A B C D E
>
> Chaque porte a la probabilité 1/5 de découvrir la voiture, le choix
> est donc indifférent entre A, B, C, D, ou E

Oui.

> Le présentateur dit: "La voiture n'est pas derrière la lettre E".
>
> A ce moment, nous nous trouvons dans un nouveau jeu: A B C D
> dans ce jeu ci, chaque porte a cette fois la probabilité 1/4 de
> découvrir la voiture, le choix est donc indifférent entre A, B, C, ou
> D.
>
> Le choix de la lettre B représente donc, cette fois, la probabilité
> 1/4 d'avoir la voiture, au même titre que A, C ou D.

Je reprends depuis le début :
Le joueur choisit la lettre B.
La probabilité que B soit la lettre gagnante est de 1/5. La probabilité que
ce soit une des lettres A, C, D, ou E, qui soit la lettre gagnante, est donc
de 4/5. La probabilité que A, par exemple, soit la lettre gagnante, est
ainsi de 1/4*4/5.

Le journaliste, en disant par exemple "la lettre gagnante n'est pas la
lettre A", ramène la probabilité précédente à 1/3*4/5 :
Le joueur a 20% de chances de gagner en ouvrant la porte B, et 1/4*4/5=4/15,
donc 26,7% de chances de gagner en ouvrant la porte C, D ou E.
D'ailleurs, ceci rejoint le constat fait par les simulations (cf. post de
Jeff) :
- 20% de chances de gagner avec B
- 26,7% de chances de gagner avec C
- 26,7% de chances de gagner avec D
- 26,7% de chances de gagner avec E
....ce qui fait bien un total de 100%.

Pour des explications certainement plus claires que celles d'un simple
lycéen, voir la page
http://www.eleves.ens.fr:8080/home/madore/math/proba.html
de l'excellent site de David Madore, qui considère ici (entre autres
problèmes intéressants) le même scénario, avec le schéma plus classique des
trois portes. (en mettre 5 ne change rien sur la conclusion, mais, moins il
y a de portes, plus il y a de chances de gagner en changeant)

--
Morse

[Anonyme]

Explications plus claires :

Notons P(X) la probabilité de gagner en ouvrant la porte X.
Au début du jeu, P(A)=P(B)=P(C)=P(D)=P(E)=1/5
Je choisis, par exemple, A.
On a :
P(A)=1/5 et P(B) + P(C) + P(D) + P(E)=4/5 (1)

Le journaliste me dit alors :
En ouvrant la porte E, vous allez perdre. Autrement dit, P(E)=0.
En reprenant (1), on déduit que P(B) + P(C) + P(D)= 4/5 - 0 = 4/5.
Ou P(B)=P(C)=P(D)=4/5*1/3, avec P(A) toujours égal à son pauvre 1/5.

Or 4/5*1/3 > 1/5, donc P(B) ou P(C) ou P(D)>P(A)

CQFD

--
Morse

[Anonyme]

On Wed, 01 Sep 2004 00:41:44 +0000, Jeff wrote:

>Le Wed, 01 Sep 2004 00:26:15 +0200, Olivier Miakinen a écrit :
>[color=green]
>> Avec 5 portes, on a 80 % de chances de gagner la voiture en changeant de
>> porte, contre effectivement 20 % en gardant son choix initial.
>
>Et non !
>
>Par le calcul on obtient bien 80% ca ok.
>Mais des simulations ont été réalisés, et j'en ai fait une moi meme
>pour en avoir le coeur net, avec des nombres suffisemment aléatoires,
>graine variable dans le temps, et par cycle de 100 millions d'essais.
>
>Résultats:
>
>jeff@Anna:/mnt/hda1$ ./doors
>Changement OUI: 26.668832% gagnés
>Changement NON: 20.008509% gagnés
>
>
>Ces résultats concordent avec les simulations "officielles" qui utilisent
>des générateurs de nombre beaucoup plus élaboré.
>
>Le probleme est godelien... la théorie a une faille quelque part
>[/color]
non,puisque Morse a prouvé théoriquement que c'était 1/5 et
4/15=0.2666666......
le 1/5 est évident lorsqu'on ne change pas ;
si on change pour gagner il faut
que la voiture ne soit pas derrière la porte choisie au départ
et
choisir la bonne porte parmi les 3 "restantes" (sont exclues
celle choisie au départ et celle signalée par le présentateur )
d'où (4/5)*1/3


effectivement le pb initial est celui avec 3 portes connu sous le nom
du pb de Monty Hall, nom du présentateur qui en 1963 proposa ce jeu à
un show télévisé ;

dans ce cas c'est 1/3 si on change pas , et 2/3 si on change

il paraît que ce pb du Monty Hall a induit en erreur plusieurs prix
Nobel (discipline ? ) dont certains ne voulurent pas admettre le 1/3
et 2/3
voir
http://www.cess.pari4.sorbonne.fr/CR261103/CR261103Bronner.htm
sur .......les biais cognitifs
*****************

Pichereau Alain

adresse mail antispam
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )

*****************

[Anonyme]

Le 01/09/2004 02:41, Jeff a écrit :
>[color=green]
>> Avec 5 portes, on a 80 % de chances de gagner la voiture en changeant de
>> porte, contre effectivement 20 % en gardant son choix initial.
>
> Et non ![/color]

Mea culpa. Les 80 %, c'est lorsque le présentateur ouvre toutes les
portes restantes sauf une, ou bien lorsque on a le choix entre n'ouvrir
que la porte choisie au départ ou ouvrir les trois portes restantes
après intervention du présentateur.

Avec le problème tel que tu l'énonces, c'est bien 1/3 × 4/5 soit environ
26,67 %.

> Par le calcul on obtient bien 80% ca ok.

Euh... non, pas avec ton énoncé, qui est différent de celui que je croyais.

> Mais des simulations ont été réalisés, [...]
>
> Résultats:
> Changement OUI: 26.668832% gagnés
> Changement NON: 20.008509% gagnés
>
> Ces résultats concordent avec les simulations "officielles" qui utilisent
> des générateurs de nombre beaucoup plus élaboré.

Oui, ils concordent aussi avec le calcul.

> Le probleme est godelien... la théorie a une faille quelque part

Non, non, c'est moi qui avais une faille.