Série de la somme des diviseurs

[Anonyme]

Bonjour,

Je dois calculer la série suivante:
\sum( d(j) , j,1,n)
où d(j) est la somme des diviseurs de j

Voici ce que j'ai fait:
Si on se donne les n entiers et que l'on cherche combien de fois i (entier
compris entre 1 et n) est diviseur des n entiers, on trouve que i est
diviseur [n/i] fois des n entiers (où [] est la partie entière)

Donc à priori \sum( d(j) , j,1,n)= \sum( i[n/i] , i,1,n)
J'ai quelque chose en n^2 mais pas le bon résultat

Le résultat est \sum( d(j) , j,1,n) équivalent à n^2*Pi^2/12
Comment y parvenir?

[Anonyme]

> Bonjour,
>
> Je dois calculer la série suivante:
> \sum( d(j) , j,1,n)
> où d(j) est la somme des diviseurs de j
>
> Voici ce que j'ai fait:
> Si on se donne les n entiers et que l'on cherche combien de fois i (entier
> compris entre 1 et n) est diviseur des n entiers, on trouve que i est
> diviseur [n/i] fois des n entiers (où [] est la partie entière)
>
> Donc à priori \sum( d(j) , j,1,n)= \sum( i[n/i] , i,1,n)

Il y a deja une petite erreur ici, on a plutot : \sum( d(j) , j,1,n)=
\sum( [n/i] , i,1,n)

^^
parce que quand on prend tous les diviseurs de 1, de 2,...et de n, le 1
apparait n fois, le 2 apparait E(n/2) fois, le 3, E(n/3) fois etc...

[Anonyme]

moufle a écrit:

>
> Il y a deja une petite erreur ici, on a plutot : \sum( d(j) , j,1,n)=
> \sum( [n/i] , i,1,n)
>
> ^^
> parce que quand on prend tous les diviseurs de 1, de 2,...et de n, le 1
> apparait n fois, le 2 apparait E(n/2) fois, le 3, E(n/3) fois etc...

on ne demande pas le nombre de diviseurs mais leur somme. Donc ta
formule est fausse.

--
albert

[Anonyme]

> > Bonjour,[color=green]
> >
> > Je dois calculer la série suivante:
> > \sum( d(j) , j,1,n)
> > où d(j) est la somme des diviseurs de j
> >
> > Voici ce que j'ai fait:
> > Si on se donne les n entiers et que l'on cherche combien de fois i[/color]
(entier[color=green]
> > compris entre 1 et n) est diviseur des n entiers, on trouve que i est
> > diviseur [n/i] fois des n entiers (où [] est la partie entière)
> >
> > Donc à priori \sum( d(j) , j,1,n)= \sum( i[n/i] , i,1,n)
>
> Il y a deja une petite erreur ici, on a plutot : \sum( d(j) , j,1,n)=
> \sum( [n/i] , i,1,n)
>
> ^^
> parce que quand on prend tous les diviseurs de 1, de 2,...et de n, le 1
> apparait n fois, le 2 apparait E(n/2) fois, le 3, E(n/3) fois etc...[/color]

Non! \sum( [n/i] , i,1,n) est la somme du nombre de diviseurs et vaut
n*ln(n)

Pour un j donné je fais la somme de ses diviseurs et je somme ensuite sur
les j de 1 à n

[Anonyme]

"albert junior" a écrit dans le message
de news:4221AA27.4020100@hotmail.com...
> moufle a écrit:
>[color=green]
> >
> > Il y a deja une petite erreur ici, on a plutot : \sum( d(j) , j,1,n)=
> > \sum( [n/i] , i,1,n)
> >
> > ^^
> > parce que quand on prend tous les diviseurs de 1, de 2,...et de n, le 1
> > apparait n fois, le 2 apparait E(n/2) fois, le 3, E(n/3) fois etc...
>
> on ne demande pas le nombre de diviseurs mais leur somme. Donc ta
> formule est fausse.[/color]
oui mais comment faire alors

[Anonyme]

[color=green]
>> Il y a deja une petite erreur ici, on a plutot : \sum( d(j) , j,1,n)=
>> \sum( [n/i] , i,1,n)
>>
>> ^^
>> parce que quand on prend tous les diviseurs de 1, de 2,...et de n, le 1
>> apparait n fois, le 2 apparait E(n/2) fois, le 3, E(n/3) fois etc...
>
> on ne demande pas le nombre de diviseurs mais leur somme. Donc ta formule
> est fausse.
>[/color]
oups désolé, j'ai lu trop vite le premier message...

[Anonyme]

Salut,
bon si j'ai bien compris en fait tu veux l'équivalent de la série de terme
général u_k=somme des diviseurs de k.
L'équivalent de cette série est bien n²*Pi²/12, c'est un exercice qui a été
posé à l'oral des ens j'ai la correction elle est loin d'etre évidente et un
peu longue pour que je la poste ( 2 pages dans mon bouqin qui sythétise les
preuves déjà pas mal )
Cela dit voilà les idées :notons S_n = sum(k=1..n,u_k).
1) Montrer que S_n=sum(k=1..n,k*E(n/k)) où E(x) désigne la partie entière de
x
2)Montrer que S_n est équivalente à : N² int(0..1,x*E(1/x)dx) ( la grosse
difficulté est là car on ne peux pas utiliser les sommes de Riemann car x->
x*E(1/x) a une infinité de discontinuités au voisinage de 0 )
3)montrer enfin que int(0..1,x*E(1/x)dx)=(Pi²/12) ( en supposant évidemment
connu que sum(k=1..+oo,1/k²)=Pi²/6

Voilà bon courage..

[Anonyme]

"garfield" a écrit dans le message de
news:4221c006$0$306$7a628cd7@news.club-internet.fr...
> Salut,
> bon si j'ai bien compris en fait tu veux l'équivalent de la série de terme
> général u_k=somme des diviseurs de k.
> L'équivalent de cette série est bien n²*Pi²/12, c'est un exercice qui a
été
> posé à l'oral des ens j'ai la correction elle est loin d'etre évidente et
un
> peu longue pour que je la poste ( 2 pages dans mon bouqin qui sythétise
les
> preuves déjà pas mal )
Peut etre ai-je ce livre. Quelle est la référence?

> Cela dit voilà les idées :notons S_n = sum(k=1..n,u_k).
> 1) Montrer que S_n=sum(k=1..n,k*E(n/k)) où E(x) désigne la partie entière
de
> x
> 2)Montrer que S_n est équivalente à : N² int(0..1,x*E(1/x)dx) ( la grosse
> difficulté est là car on ne peux pas utiliser les sommes de Riemann car
x->
> x*E(1/x) a une infinité de discontinuités au voisinage de 0 )
> 3)montrer enfin que int(0..1,x*E(1/x)dx)=(Pi²/12) ( en supposant
évidemment
> connu que sum(k=1..+oo,1/k²)=Pi²/6

> Voilà bon courage..

Merci pour les étapes j'y vois déjà plus clair

[Anonyme]

> Peut etre ai-je ce livre. Quelle est la référence?
Le bouquin c'est " les exercices de maths en MP-MP*" de Michel Gonnord aux
éditions ellipses ...