Histoire de boules

[Anonyme]

Bonjour

Je sens qu'il y a un problème dans ce raisonnement,
mais je ne vois pas où.

Soit (X, d) un espace métrique.
Soit O un ouvert de X.
Soit x un point de O.

Puisque O est un ouvert, il existe une boule ouverte
de rayon non nul et de centre x incluse dans O. Il en
existe même souvent beaucoup.

Soit E_x l'ensemble des boules de centre x incluses
dans O.

E_x est un ensemble de parties de O. La réunion de
ces parties est une boule ouverte de O et c'est donc
nécessairement la plus grande boule ouverte de centre
x incluse dans O ?

merci de m'éclairer

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

"Pierre Capdevila" a écrit

> Soit (X, d) un espace métrique.
> Soit O un ouvert de X.
> Soit x un point de O.
>
> Puisque O est un ouvert, il existe une boule ouverte
> de rayon non nul et de centre x incluse dans O. Il en
> existe même souvent beaucoup.
>
> Soit E_x l'ensemble des boules de centre x incluses
> dans O.
>
> E_x est un ensemble de parties de O. La réunion de
> ces parties est une boule ouverte de O et c'est donc
> nécessairement la plus grande boule ouverte de centre
> x incluse dans O ?

Oui, mais vu que tu as écrit "donc nécessairement" je suppose que tu ne sais
pas comment le justifier...
Une réunion de boules ouvertes de même centre est une boule ouverte (ça se
voit en regardant ce qui se passe dans R). Toute boule ouverte centrée en X
et incluse dans O est incluse dedans par définition, donc c'est la plus
grande.

--
Maxi

[Anonyme]

Maxi a écrit

> Une réunion de boules ouvertes de même centre est une boule ouverte (ça se
> voit en regardant ce qui se passe dans R). Toute boule ouverte centrée en
X
> et incluse dans O est incluse dedans par définition, donc c'est la plus
> grande.

C'est ça qui me choque. Cela signifie en effet que l'ensemble
E_x des boules ouvertes de centre x incluses dans O possède
un plus grand élément. Pourtant pour toute boule ouverte
de centre x on peut trouver une boule plus grande encore
incluse dans O.

C'est là le hic ;o)

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

> un plus grand élément. Pourtant pour toute boule ouverte
> de centre x on peut trouver une boule plus grande encore
> incluse dans O.

Exemple avec les boules ouvertes de R (ie les intervalles ouverts).
I=]-1;1[ est un ouvert de R. On considère l'ensemble des boules ouvertes
centrées en 0 et contenues dans I.
B(0,1) est bien plus grand élément de cet ensemble (car B(0,1) = I).

[Anonyme]

Pourtant pour toute boule ouverte
> de centre x on peut trouver une boule plus grande encore
> incluse dans O.
>
> C'est là le hic ;o)

Ben justement non! On vient de démontrer le contraire.
Fais le dessin avec un intervalle ouvert de R pour t'en convaincre.

--
Maxi

[Anonyme]

Julien Santini
> Exemple avec les boules ouvertes de R (ie les intervalles ouverts).
> I=]-1;1[ est un ouvert de R. On considère l'ensemble des boules ouvertes
> centrées en 0 et contenues dans I.
> B(0,1) est bien plus grand élément de cet ensemble (car B(0,1) = I).

Ah oui. C'est marrant ça. L'ensemble des boules ouvertes de I possède donc
un plus grand élément alors que l'ensemble I n'en possède pas. Je fais des
découvertes tous le jours.

;o)

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

> E_x est un ensemble de parties de O. La réunion de
> ces parties est une boule ouverte de O et c'est donc
> nécessairement la plus grande boule ouverte de centre
> x incluse dans O ?

Attention, c'est vrai si O est borné, mais sinon c'est dangereux :
regarde R tout entier. C'est un ouvert de R, les boules de centre 0 sont
les ]-a,a[ pour a réel, mais leur réunion est R tout entier, qui n'est
pas de cette forme. Ou alors tu mets aussi dans les boules la "boule de
rayon infini" c'est à dire l'espace X tout entier, alors là OK, pas de
problème (mais c'est pas la définition standard, ça).

En fait, tu vois que si O est un ouvert dans X métrique, si x appartient
à O (non vide... !), et si O n'est pas X tout entier, alors oui il
existe une boule de centre x et de rayon maximal incluse dans O, et tu
l'as même prouvé.

--
Jérémie Rocher

enlever "_nospamplease" pour me répondre

[Anonyme]

> Ou alors tu mets aussi dans les boules la "boule de
> rayon infini" c'est à dire l'espace X tout entier, alors là OK, pas de
> problème (mais c'est pas la définition standard, ça).

Ca dépend... Quand on fait des fonctions holomorphes par exemple, on fait
souvent cet abus.

--
Maxi

[Anonyme]

Maxi a écrit
> Ben justement non! On vient de démontrer le contraire.
> Fais le dessin avec un intervalle ouvert de R pour t'en convaincre.

Ca y est j'ai compris. Je te remercie.

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Pierre Capdevila wrote:
> Julien Santini
>[color=green]
>>Exemple avec les boules ouvertes de R (ie les intervalles ouverts).
>>I=]-1;1[ est un ouvert de R. On considère l'ensemble des boules ouvertes
>>centrées en 0 et contenues dans I.
>>B(0,1) est bien plus grand élément de cet ensemble (car B(0,1) = I).
>
>
> Ah oui. C'est marrant ça. L'ensemble des boules ouvertes de I possède donc
> un plus grand élément[/color]

Oui, car I est une boule..

>alors que l'ensemble I n'en possède pas. Je fais des
> découvertes tous le jours.

comme quoi, faut se méfier des intuitions en maths .

Osiris