> j'ai deux points : A ( xa, ya, za ) et B ( xb, yb, zb )
>
> Supposant qu'au point A on "regarde" suivant un vecteur (1,0,0)
> Quelles seraient les rotations à faire suivant les axes x, y et z (dans
> le sens trigonométrique) pour "regarder" directement vers B ? (en fait
> pour mon probleme seules les rotations sur les axes y et zm'interessent
> je crois 
)C'est pas ultra clair, mais je crois que je vois où tu veux en venir :
trouver et "décomposer" de façon simple une rotation (disons de centre
A) envoyant le vecteur e_x=(1,0,0) sur un vecteur positivement
colinéaire à (xb-xa,yb-ya,zb-za). Tu me corriges si ce n'est pas ça...
Il n'y a pas unicité de la solution... puisque si tu as pour solution
une rotation r, alors, pour toute rotation r' d'axe e_x=(1,0,0), r.r'
(la composition des deux) est encore solution. Je vais te donner
l'unique solution qui s'écrive comme composition R2.R1 d'une rotation R1
d'axe e_z=(0,0,1) et R2 d'axe R1(e_y). C'est super classique, donc je
donne le vocabulaire approprié.
On prend l'origine de l'espace en A. Je suppose aussi bien sur que B
est différent de A. Alors tu peux repérer B par ses "coordonnées
sphériques" (r,theta,phi), où, en notant (X,Y,Z)=(xb-xa,yb-ya,zb-za), on
a :
r=racine(X^2+Y^2+Z^2), theta=pi/2-argument(racine(X^2+Y^2)+iZ)),
phi=argument(X+iY), ou encore :
X=r.cos(phi).sin(theta), Y=r.sin(phi).sin(theta), Z=r.cos(theta).
r est tout simplement la distance AB, et theta et phi sont
respectivement la colatitude et la longitude du vecteur AB.
Tu commences par une rotation R1 d'angle phi et d'axe e_z : l'image de
la base canonique (ex,ey,ez) est une base (e_rho,e_phi,e_z) orthonormée.
Maintenant, si tu effectues une rotation d'axe e_phi et d'angle theta,
tu obtiens la base (e_theta,e_phi,e_r) que l'on écrit généralement dans
l'ordre (e_r,e_theta,e_phi) : c'est la base sphérique... Ce qui est
interressant, c'est qu'alors e_r est (positivement) colinéaire au
vecteur AB... Ce qui se vérifie facilement (au moins sur un dessin !).
Si, au lieu de la rotation d'angle theta autour de (e_phi), on fait une
rotation R2 d'angle (pi/2-theta) (que l'on appelle latitude... pense aux
coordonnées en géographie) autour du même axe, on envoie la base
(e_rho,e_phi,e_z) sur (e_r,e_phi,-e_theta). Donc on a bien la solution
du problème : R2.R1 envoie e_x sur e_r, c'est ce qu'on voulait.
Tu remarqueras que theta est entre 0 et pi, et qu'il n'y a pas unicité
de la solution si theta vaut 0 ou pi, puisqu'alors tu peux choisir
n'importe quel phi. Avec phi=0, c'est le plus simple, et tu as bien
unicité de la solution. La latitude lambda vaut pi/2-theta, et est
entre -pi/2 et pi/2...
sin(theta)=cos(lambda) et sin(lambda)=cos(theta), ce qui fait que le
calcul n'a rien de plus difficile avec lambda au lieu de theta :
lambda=argument(racine(X^2+Y^2)+iZ)...
Pour en savoir un peu plus sur ce genre de calcul, tu peux regarder dans
des bouquins de maths ou de physique de prépa, ou des bouquins
d'astronomie fondamentale, aussi. Comme ça, si par exemple les axes que
j'ai choisis ne te conviennent pas, tu pourras adapter comme tu le sens.
De façon générale, les problèmes d'"orientation" dans l'espace autour
d'un point origine se traitent souvent très bien en coordonnées
sphériques...
--
Jérémie Rocher
enlever "_nospamplease" pour me répondre.
