Géométrie

[Anonyme]

Bonjour à toutes et à tous,

J'ai comme qui dirait une punition à faire pour la semaine prochaine et je voudrais rendre
un travail impec'. Si quelqu'un pouvait jeter un oeil sur ma résolution de problème, ce
serait sympa.

Problème : Trois droites issues d'un point S coupent deux droites parallèles d et d' en
A,B,C et A',B',C' respectivement. Démontrer que les points d'intersection P et Q des
diagonales du trapèze ABB'A' et de celles du trapèze BCC'B' se trouvent sur une droite
parallèle à d.

Figure explicative :
S



d .................................. A ................B.................C........

P Q

d'.......................A'..................................B'...........................
...C'


Démonstration :
1) D'après la théorie des angles égaux :
l'angle : BAB'=AB'A' (alternes-internes)
ABA'=BA'B' (alternes-internes)
APB=A'PB' (opposés par le sommet)
Donc les triangles ABP et A'B'P ont les mêmes angles, mais pas nécessairement les
mêmes mesures de longueurs.
C'est le théorème de Thalès (et ses implications) qui donne le rapport de mesures de
longueurs entre ces deux triangles. En effet, on a :
SA/SA' = AB/A'B' = mettons "R" (pour "Rapport").
D'où : (hauteur issue de P sur AB) / (hauteur issue de P sur A'B') = R aussi.

2) Le même raisonnement appliqué aux triangles BCQ et B'C'Q conduit à :
SB/SB' = BC/B'C' = R également, car toujours d'après Thalès, SA/SA' = SB/SB'
D'où, encore une fois, :
(hauteur issue de Q sur BC) / (hauteur issue de Q sur B'C') = R

3) Et pour : I = le pied de la hauteur issue de P sur AB
I' = le pied de la hauteur issue de P sur A'B'
J = le pied de la hauteur issue de Q sur BC
J' = le pied de la hauteur issue de Q sur B'C'
on a : PI / PI' = R = QJ / QJ'
et comme, par construction, I J J' I' est un rectangle (4 côtés parallèles 2 à 2 et
4 angles droits) , où PI+PI' = QJ+QJ', on a finalement :
PI = QJ et PI' = QJ'.

D'où P et Q, points distincts, se trouvent à une même distance de la droite d, et
du même côté de cette droite. Donc P et Q sont sur
une droite parallèle à d.

Un grand merci pour vos critiques.

Gibbs.