Géométrie classique

[Anonyme]

Bonjour à toutes et à tous,

Il y a un problème de géométrie que je me pose et que je n'arrive pas à résoudre. Le voici
(l'énoncé est de moi et j'espère qu'il sera suffisamment clair) :

Soit deux droites, D1 et D2, sécantes au point "O", de façon non-perpendiculaire de telle
sorte qu'elles délimitent deux "petits" secteurs angulaires, A et B, et deux "grands"
secteurs angulaires, C et D.

Soit un point, "P", appartenant à C ou D (peu importe), mais extérieur à la bissectrice
des deux grands angles formés par l'intersection de D1 avec D2.

Soit "D3" une droite passant par P, traversant le petit secteur angulaire "le plus proche"
de P et coupant D1 et D2 (ailleurs qu'en "O") respectivement en a1 et b1.

Soit "D4" une droite (distincte de D3) passant aussi par P, traversant aussi le même petit
secteur angulaire "le plus proche" de P et coupant D1 et D2 cette fois respectivement en
a2 et b2.

Soit enfin les deux droites (a1;b2) et (a2;b1) se coupant au point "i".


En faisant varier la position de a2 et b2 sur D1 et D2 (a1 et b1 étant fixés), il me
semble que les intersections "i" appartiennent toutes à une même droite (passant par "O").
Est-ce juste ? Et si oui, comment le démontrer ? J'ai beau tourner le problème dans tous
les sens, je n'en sors pas.

Quelqu'un qui sait pourrait-il m'éclairer ?

D'avance, merci pour votre aide.

Gibbs.

[Anonyme]

Le Thu, 03 Jun 2004 19:18:55 +0200, Gibbs a écrit :

> Bonjour à toutes et à tous,
Bonjour !

Bon, pas trop evident, mais on dirait que ca marche pas... peut-etre une erreur de calcul ?
Idee suivie : prendre Oa1, Ob1 comme base du plan
xp yp sont les coordonnees de P, on a r>1 tel que Pb2=r Pa2 (vecteurs)
faire varier D2 revient a faire varier r
a2 (x,0) avec x = (r - 1) xp / r
b2 (0,y) avec y = (1 - r) yp

et, sauf erreur, I (x (1 - y) / (1 - x y) , y (1 - x) / (1 - x y))

si en variant r, I etait sur une droite, le quotient de ces coordonnees ne dependrait pas de r
or ce quotient est (modulo erreur, encore...)
(xp + (r - 1) xp yp) / (yp - (r - 1) xp yp)
....

voila, excusez si ca marche, et excusez si ca marche pas !

@

[Anonyme]

Dans l'article ,
"Gibbs" a écrit:

> ....
> Soit deux droites, D1 et D2, sécantes au point "O", de façon
> non-perpendiculaire de telle
> sorte qu'elles délimitent deux "petits" secteurs angulaires, A et B, et deux
> "grands"
> secteurs angulaires, C et D.
>
> Soit un point, "P", appartenant à C ou D (peu importe), mais extérieur à la
> bissectrice
> des deux grands angles formés par l'intersection de D1 avec D2.
>
> Soit "D3" une droite passant par P, traversant le petit secteur angulaire "le
> plus proche"
> de P et coupant D1 et D2 (ailleurs qu'en "O") respectivement en a1 et b1.
>
> Soit "D4" une droite (distincte de D3) passant aussi par P, traversant aussi
> le même petit
> secteur angulaire "le plus proche" de P et coupant D1 et D2 cette fois
> respectivement en
> a2 et b2.
>
> Soit enfin les deux droites (a1;b2) et (a2;b1) se coupant au point "i".
>
>
> En faisant varier la position de a2 et b2 sur D1 et D2 (a1 et b1 étant
> fixés), il me
> semble que les intersections "i" appartiennent toutes à une même droite
> (passant par "O").
> Est-ce juste ? Et si oui, comment le démontrer ? J'ai beau tourner le
> problème dans tous
> les sens, je n'en sors pas....


(Je ne suis pas sûr des mots justes français.)

C'est le trait harmonique du quadrangle complet aux sommets a1,
b1, a2, b2. Il se trouve dans l'oeuvre de Girard Desargues (1639), et
plus lucidement dans les livres modernes au sujet de la géométrie
projective.

On dit que le rapport des distances (a1 P) et (P a2) est
négatif. Soit Q le point de D3, entre a1 et b1, tel que le rapport
positif (a1 Q)/(Q a2) = - (a1 P)/(P a2). Donc ton intersection
i appartient à la droite OQ.

Une démonstration facile se sert des rapports anharmoniques.

Ken Pledger.

[Anonyme]

Bonjour,

Un grand merci, un peu tardif, pour tes renseignements utiles.

Pierre.