Forme linéaire de L(E)

[Anonyme]

Voici l'exercice dont je doute de ma réponse je vous donne l'énoncé et ma
réponse pourriez vous me dire si ce que je dis est juste ou non

On pose E de dimension n>=1 K Espace vectoriel
u appartient à L(E)
pour tout u dans L(E) on définit la forme linéaire

PHIu : L(E) --->K
f -------> Tr(fou)
j'ai déja démontré que l'application qui à u dans L(E) associe PHIu dans
L(E)* est un isomorphisme de L(E) dans L(E)*

Je veux montrer que si W est un sous espace de L(E) de dimension n^2 - r
avec 1<=r<=n^2-1 il existe une famille libre (u1,....,ur) de L(E) telle que

W = intersection (KerPHIui) pour i =1 à r

Voici mon raisonnement
je veux le démontrer par récurrence sur r compris entre 1 et n^2-1
pour r=1 j'ai dimW=n^2 - 1 qui est donc un hyperplan de L(E) donc noyau
d'une forme linéaire de L(E) donc il existe bien i tel que W = Ker(PHIui)

Je suppose cete hypothèse vraie pour un r
et je considère r+1 avec r+1 dans l'intervalle [|1, n^2-1|]
alors Dim(W) = n^2-(r+1) = (n^2-1) - r

je considère alors H un hyperplan de L(E) tel que W soit inclu dans H
si r = 0 c'est bon sinon
j'ai 1<=r<=n^2-1 et d'après l'hypothèse de récurrence je peux trouver une
famille libre de L(E) (u1,....ur) telle que

W = intersection (Ker(PHIui)) pour i=1 à r

Par ailleurs W inclu dans H, hyperplan
donc H est le noyau d'une forme linéaire u(r+1) et comme W inclu dans
Ker(PHIu(r+1))
on a bien W = intersection (Ker(PHIui))pour i=1 à r+1
il me faut maintenant vérifier que la famille (u1,...,ur,ur+1) est libre
mais je ne parviens pas à le démontrer

je bloque donc a ce point sans pour autant etre sur que mon raisonnement
précédent soit valable je pense en effet qu'il doit y avoir plus simple
c'est pourquoi je sollicite votre aide
Mon niveau est MPSI
merci d'avance