Forme bilinéaire non dégénérée

[Anonyme]

Bonjour,

Je révise pour un exam d'algebre, pouvez vous me confirmer ce qui
est écrit ci-dessous ? Si vous trouvez des erreurs pouvez vous me
les mentionner ? Merci d'avance pour votre rigueur



Soit une forme bilineaire B : E x E -> K

On considere deux applications lineaires E -> E* qui associent à un
vecteur de E une forme lineaire E -> K :

- B1 : y -> ( B1_y : x -> B(x,y) )
- B2 : x -> ( B2_x : y -> B(x,y) )

rang B1 = rang B2 = rang B

B est non dégénérée
rang B = dim E
B1 et B2 sont bijectives
la forme quadratique Q associée à B est non dégénérée
( B(x,x) = 0 x=0 )
pour toutes les B1_y et B2_x possibles,
(B1_y(x) = 0 x = 0) et
(B2_x(y) = 0 y = 0)


Peut on dire d'une forme linéaire est non dégénérée ? Si oui on
rajoute " toute les B1_y et B2_x sont non dégénérées" ci dessus.

[Anonyme]

> Peut on dire d'une forme linéaire est non dégénérée ?

Ca reviendrait à dire qu'elle est non identiquement nulle ? Well, well ...

[Anonyme]

Julien Santini wrote:

> Ca reviendrait à dire qu'elle est non identiquement nulle ? Well, well ...

Ah... je crois que j'avais oublié certaines particularités des
applications linéaires. Alors il faut retirer le dernière équivalence :

pour toutes les B1_y et B2_x possibles,
(B1_y(x) = 0 x = 0) et
(B2_x(y) = 0 y = 0)

N'est ce pas ?

Y'a t'il une équivalence à "B est non dégénérée" en utilisant B1_y
et B2_x comme elles ont été définies dans le premier message ?

Et au fait, le reste est juste ?

Je vous remercie

[Anonyme]

> Et au fait, le reste est juste ?

De souvenir de taupin et pour avoir lu le post rapidement je dirais oui s'il
me fallait répondre ... mais bon ...

Eheh faire durer le plaisir !!!

[Anonyme]

SoULiaNe a écrit :

> la forme quadratique Q associée à B est non dégénérée
> ( B(x,x) = 0 x=0 )

D'abord, ça suppose que la forme bilinéaire B du départ est symétrique.
D'autre part, ton équivalence paraît douteuse (la deuxième assertion
entraîne la première mais la réciproque est fausse en général).

Pascal

[Anonyme]

Julien Santini wrote:

> Eheh faire durer le plaisir !!!

Mouais, vu l'heure et sachant que je passe l'exam demain matin, je
préfererai savoir à quoi m'en tenir immédiatement...

Mais je m'en tiens au "well, well..." qui après tout signifie
bien... je suppose que c'est bon

Merci d'avoir répondu.

[Anonyme]

Je retire ce que j'ai dit, c'était sans avoir lu l'autre réponse... :/

[Anonyme]

pascal wrote:
[color=green]
>> la forme quadratique Q associée à B est non dégénérée
>> ( B(x,x) = 0 x=0 )
>
> D'abord, ça suppose que la forme bilinéaire B du départ est symétrique.[/color]

Oui c'est vrai...


> D'autre part, ton équivalence paraît douteuse (la deuxième assertion
> entraîne la première mais la réciproque est fausse en général).

Ah bon ? Je croyais pourtant Q(x)=0 x=0 était la définition même
d'une forme quadratique non dégénérée ?!

La définition d'une forme quadratique dégénérée sur les-mats.net :
"si son noyau n'est pas réduit à 0."

Donc elle est non dégénérée si son noyau est réduit à 0.

Q(x) = 0 x appartient au noyau
Si le noyau est réduit à zéro alors x vaut forcément 0.

Y'a une erreur dans mon raisonnement ?

[Anonyme]

> Je retire ce que j'ai dit, c'était sans avoir lu l'autre réponse... :/

Comme quoi, la prochaine fois, tu me feras confiance: quand je dis gris,
c'est PO BLANC !!!

[Anonyme]

Julien Santini wrote:

> Comme quoi, la prochaine fois, tu me feras confiance: quand je dis gris,
> c'est PO BLANC !!!

Je ne m'attendais pas à autant de rigueur de votre part. On dirait
que vous maniez les phrases comme des équations

[Anonyme]

> > Comme quoi, la prochaine fois, tu me feras confiance: quand je dis gris,[color=green]
> > c'est PO BLANC !!!
>
> Je ne m'attendais pas à autant de rigueur de votre part. On dirait
> que vous maniez les phrases comme des équations [/color]

Non c'était littéral ... c'est vrai que le jargon des formes bilinéaires je
m'y suis peu attardé (y'a des histoires de cônes isotropes et tout le
toutim, chacun sort la sienne ... d'ailleurs y'a un an j'avais posé la
question "le noyau de la forme quadratique est-il défini comme son cône
isotrope" et je crois que c'est non ... le noyau c'est (je crois me rappeler
.... CROIS) celui de la forme bili sym associée).

Bon bref c'est bien joli tout ça mais à minuit je préfère dormir, amuse toi
bien.

Pascal: ta référence sur l'algèbre ne tombe pas dans l'oreille d'un sourd,
je jetterai un coup d'oeil au bouquin (vas falloir que je me mette au boulot
moi)

--
JS, demain 1er exam de licence du 2nd semestre mais hum... ceux du premier
(plus un partiel, qud même) ont suffi. Et puis, ils pensent qud même pas que
je V fR des maths applis et Househölderiser 30 matrices à la chaîne pendant
4 heures, non ????

[Anonyme]

SoULiaNe a écrit :
> pascal wrote:
>[color=green][color=darkred]
>>> la forme quadratique Q associée à B est non dégénérée
>>> ( B(x,x) = 0 x=0 )
>>[/color][/color]

[...]

[color=green]
>> D'autre part, ton équivalence paraît douteuse (la deuxième assertion
>> entraîne la première mais la réciproque est fausse en général).
>
>
> Ah bon ? Je croyais pourtant Q(x)=0 x=0 était la définition même
> d'une forme quadratique non dégénérée ?!
>
> La définition d'une forme quadratique dégénérée sur les-mats.net : "si
> son noyau n'est pas réduit à 0."
>
> Donc elle est non dégénérée si son noyau est réduit à 0.
>
> Q(x) = 0 x appartient au noyau[/color]


Non, tu extrapoles, ce n'est pas ça le noyau d'une forme quadratique
même s'il est vrai que le vocabulaire est trompeur et d'ailleurs on
utilise parfois le terme de radical au lieu de noyau.

Le noyau d'une forme quadratique est celui de la forme bilinéaire
associée c'est à dire l'ensemble des vecteurs orthogonaux à tous les
vecteurs de l'espace considéré.


> Si le noyau est réduit à zéro alors x vaut forcément 0.
>
> Y'a une erreur dans mon raisonnement ?

Très franchement si ton exam est demain, alors laisse tomber et
repose-toi, au pire révise des choses que tu connais un tant soit peu.