Fonctions quasi-concaves

[Anonyme]

A designe un ensemble convexe de (R)^n
f est une fonction definie sur A a valeurs réelles
f est dite quasi concave sur A si:
pour tout (x,y) appartenant a A², pour tout l de [0,1]:
f( l x+ ( 1 - l ) y ) >ou= min ( f(x) , f(y) )
un sous ensemble vide A de R^n est dit convexe si:
pour tout (x,y) de A² , l'ensemble :
{ l x + ( 1 - l ) y , l appartenant a [ 0, 1 ] } inclus dans A

on veut montrer qu'il y a equivalence entre:

(i) f quasi-concave sur A

(ii) pour tout (x,y) de A², pour tout c de R:
( f(x) >ou= c et f(y) >ou= c ) => f( l x + ( 1 - l ) y ) >ou= c , pour
tout l de [0,1]

(iii) pour tout a de R, l'ensemble
E = { x appartenant a A, f(x) >ou= a } est vide ou est un convexe de R^n

je pense que la meilleure facon de proceder serait d etablir les
implications:
(i) => (ii) => (iii) =>(i)

j'ai reussi a montrer : (i) => (ii)
(ii) => (iii)
en ce qui concerne (iii) => (i) :
d'abord j'ai supposé E convexe de R^n
j'ai reussi a montrer alors que f est quasi concave
mais ensuite je dois supposer E vide
et la j'arrive pas a montrer que f quasi concave
si vous pouviez m'aider

merci

[Anonyme]

In article , "anna"
wrote:
> A designe un ensemble convexe de (R)^n
> f est une fonction definie sur A a valeurs réelles
> f est dite quasi concave sur A si:
> pour tout (x,y) appartenant a A², pour tout l de [0,1]:
> f( l x+ ( 1 - l ) y ) >ou= min ( f(x) , f(y) )
> un sous ensemble vide A de R^n est dit convexe si:
> pour tout (x,y) de A² , l'ensemble :
> { l x + ( 1 - l ) y , l appartenant a [ 0, 1 ] } inclus dans A
>
> on veut montrer qu'il y a equivalence entre:
>
> (i) f quasi-concave sur A
>
> (ii) pour tout (x,y) de A², pour tout c de R:
> ( f(x) >ou= c et f(y) >ou= c ) => f( l x + ( 1 - l ) y ) >ou= c , pour
> tout l de [0,1]
>
> (iii) pour tout a de R, l'ensemble
> E = { x appartenant a A, f(x) >ou= a } est vide ou est un convexe de R^n
>
> je pense que la meilleure facon de proceder serait d etablir les
> implications:
> (i) => (ii) => (iii) =>(i)
>
> j'ai reussi a montrer : (i) => (ii)
> (ii) => (iii)
> en ce qui concerne (iii) => (i) :
> d'abord j'ai supposé E convexe de R^n
> j'ai reussi a montrer alors que f est quasi concave
> mais ensuite je dois supposer E vide
> et la j'arrive pas a montrer que f quasi concave

Bonjour,
la proposition (iii) dit que pour chaque a réel,
E(a) est vide ou convexe (en toute rigueur,
l'ensemble vide est convexe, donc il n'y a pas de
cas à considérer d'ailleurs). Dans ta démonstration
de (iii)=>(i), tu t'intéresses à des E(a) de la forme
E(f(x)), dont tu sais qu'ils sont non-vides puisqu'ils
contiennent x.
Tu n'as donc jamais à te préoccuper du fait qu'ils
puissent être vides (le fait que certains soient vides
montre que la fonction est majorée).
Ta démonstration est donc probablement complète.

Camille
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