Fonctions lipschitziennes ( PC )

[Anonyme]

Voila apres bien des essais je n' arrive tjs pas a montrer que le produit
f*g de 2 fonctions bornées lipschitziennes est aussi une fonctions
lipschitziennes. ( même en repartant des définitions )

si quelqu' un peut m' aider.

en est-il de même si f et g ne sont pas toutes 2 bornées ?

[Anonyme]

- Romain :

> Voila apres bien des essais je n' arrive tjs pas a montrer que le
> produit f*g de 2 fonctions bornées lipschitziennes est aussi une
> fonctions lipschitziennes. ( même en repartant des définitions )
>
> si quelqu' un peut m' aider.

toute l'astuce :
fg(x)-fg(x') = (f(x)-f(x'))g(x) + f(x')(g(x)-g(x'))


> en est-il de même si f et g ne sont pas toutes 2 bornées ?

je ne pense pas, faudrait voir ...

[Anonyme]

Romain wrote:
>
> en est-il de même si f et g ne sont pas toutes 2 bornées ?
>

Non. f(x)=x et g(x)=x sont toutes deux lipschitziennes mais non
bronees et leur produit n'est pas lipschitzien. On peut aussi prendre
pour f(x) une fonction bornee (des dents de scie par exemple) ce qui
montre que les deux doivent etre bornees. En clair, la solution donnee
au dessus n'est pas une astuce. Le coefficient de lipschitz du produit
c'est bien
(au pire) M1*l2+M2*l1 (M1 max de f, M2 max de g, l1 coefficient de lip.
de f ...)

--
Saïd.

[Anonyme]

- Romain :

> Voila apres bien des essais je n' arrive tjs pas a montrer que le
> produit f*g de 2 fonctions bornées lipschitziennes est aussi une
> fonctions lipschitziennes. ( même en repartant des définitions )

dans le même genre, je me demandais si (f_n) et (g_n) convergent
uniformément vers f et g, quelles sont les conditions minimales pour que
(f_n g_n) CVU ?

[Anonyme]

Eric wrote:
> - Romain :
>
>[color=green]
>>Voila apres bien des essais je n' arrive tjs pas a montrer que le
>>produit f*g de 2 fonctions bornées lipschitziennes est aussi une
>>fonctions lipschitziennes. ( même en repartant des définitions )
>
>
> dans le même genre, je me demandais si (f_n) et (g_n) convergent
> uniformément vers f et g, quelles sont les conditions minimales pour que
> (f_n g_n) CVU ?[/color]

f et g bronées suffisent, il me semble(*). par contre si f n'est pas
bornee (par exemple) on peut prendre

f=f_n=x sur R
g=0, g_n=1/n

f_ng_n = x/n ne converge pas uiformement sur R var fg=0.



(*) en effet, dans ce cas f_n et g_n sont uniformement bornee a partir
d'un certain rang (i.e. il existe M et N tq pour tout n>= N |f_n(x)|<M
pour tout x). Et on peut ecrire

||f_ng_n-fg|| <= ||f_ng_n-f_ng|| +||f_ng-fg||
<= M1||g_n-g|| + M2 ||f_n-f|| (M1 est la borne uniforme
des f_n et M2 la borne de g)

--
Saïd.

[Anonyme]

- Saïd :

[color=green]
>> dans le même genre, je me demandais si (f_n) et (g_n) convergent
>> uniformément vers f et g, quelles sont les conditions minimales pour
>> que (f_n g_n) CVU ?
>
> f et g bronées suffisent, il me semble(*). par contre si f n'est pas
> bornee (par exemple) on peut prendre
>
> f=f_n=x sur R
> g=0, g_n=1/n
>
> f_ng_n = x/n ne converge pas uiformement sur R var fg=0.[/color]

merci bien