Fonction continue

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Anonyme

Fonction continue

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:22

Bonjour

C'est une réflexion personnelle. J'espère que la question
a un sens ...

Soit I un intervalle de IR et f : I ---> IR une fonction continue et
soit D l'ensemble des points de I où f s'annule en changeant
de signe.

D est-il au plus dénombrable ?


--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr



Anonyme

Re: Fonction continue

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:22

>
> Soit I un intervalle de IR et f : I ---> IR une fonction continue et
> soit D l'ensemble des points de I où f s'annule en changeant
> de signe.
>
> D est-il au plus dénombrable ?


Sans doute ;-) puisqu'aucun intervalle n'est contenu dans D, non?

Anonyme

Re: Fonction continue

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:22

James a écrit
> Sans doute ;-) puisqu'aucun intervalle n'est
> contenu dans D, non?


Tu penses que si une partie D de IR ne contient
pas un intervalle alors elle est dénombrable ?

C'est possible mais je n'en suis pas convaincu.

Par exemple l'ensemble des irrationnels de [0, 1]
est non dénombrable et ne contient pas d'intervalle.

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

Anonyme

Re: Fonction continue

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:22

>
> C'est possible mais je n'en suis pas convaincu.
>
> Par exemple l'ensemble des irrationnels de [0, 1]
> est non dénombrable et ne contient pas d'intervalle.


Tu as raison. Alors il faudrait peut-être rajouter que D est discret?

Anonyme

Re: Fonction continue

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:22

"Pierre Capdevila" wrote in message
:
> Soit I un intervalle de IR et f : I ---> IR une fonction continue et
> soit D l'ensemble des points de I où f s'annule en changeant
> de signe.
>
> D est-il au plus dénombrable ?


Qu'entends-tu par : « f s'annule en changeant de signe » ?

Je vois deux possibilités :


1°) f(x_0) = 0 et il existe a et b avec a0 sur ]a;x_0[ et f0 et f(b_n)<0 (ou le contraire)

Là, j'y crois beaucoup moins...

--
Yann

Anonyme

Re: Fonction continue

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:22

Pierre Capdevila wrote:
> Soit I un intervalle de IR et f : I ---> IR une fonction continue et
> soit D l'ensemble des points de I où f s'annule en changeant
> de signe.
> D est-il au plus dénombrable ?


Il me SEMBLE que si tu veux des changements de signe, il faut qu'autour
du point d'annulation, il y ait un intervalle où f soit par exemple
strictement positive avant et devienne strictement négative après..
Il me semble donc que chacun de ces points est "isolable" et ceci de
manière disjointe.ça devrait limiter sur tout intervalle borné le
nombre d'annulations de f avec changement de signe.
Et comme I est réunion dénombrable d'intervalles bornés, ça devrait
faire l'affaire non?

Anonyme

Re: Fonction continue

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:22

Osiris a écrit
> Il me SEMBLE que si tu veux des changements de
> signe, il faut qu'autour du point d'annulation, il y ait
> un intervalle où f soit par exemple strictement positive
> avant et devienne strictement négative après.


Je ne crois pas que cela soit vrai. Cela revient en effet
à dire que si f est continue en x, alors il existe un ouvert
]a, x[ sur lequel f est monotone.

Par exemple la fonction x * sin(1/x) est continue en 0
si on pose f(0) = 0 pourtant un tel ouvert n'existe pas.

L'ensemble D pour cette fonction est bien dénombrable
mais pas pour la raison que tu donnes.

> Il me semble donc que chacun de ces points est
> "isolable" et ceci de manière disjointe.


C'est possible mais pourquoi ?


--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

Anonyme

Re: Fonction continue

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:22

Yann Villessuzanne a écrit dans le message de

> 2°) f(x_0) = 0 et il existe deux suites a_n et b_n
> convergeant vers x_0 telles que a_n et f(a_n)>0 et f(b_n) Là, j'y crois beaucoup moins...


Ne penses-tu pas que l'ensemble de tels points
est nécessairement dénombrable ?

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

Anonyme

Re: Fonction continue

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:22

Pierre Capdevila wrote:
> Osiris a écrit[color=green]
>>Il me SEMBLE que si tu veux des changements de
>>signe, il faut qu'autour du point d'annulation, il y ait
>>un intervalle où f soit par exemple strictement positive
>>avant et devienne strictement négative après.

>
>
> Je ne crois pas que cela soit vrai. Cela revient en effet
> à dire que si f est continue en x, alors il existe un ouvert
> ]a, x[ sur lequel f est monotone.[/color]

On peut être positif sans monotone...
On peut passer par 0 sans être monotone sur un intervalle.
A moins que tu ne me démontres ton "cela revient à dire" qui me semble
vite dit.
Yann Villesuzanne a strictement la même démonstration que moi en tout cas.

> Par exemple la fonction x * sin(1/x) est continue en 0
> si on pose f(0) = 0 pourtant un tel ouvert n'existe pas.


je ne sais pas si elle change de signe en 0....

[color=green]
>>Il me semble donc que chacun de ces points est
>>"isolable" et ceci de manière disjointe.

>
> C'est possible mais pourquoi ?[/color]

parce que strictement positive avant et strictement négative après..==>
pas d'autres points de changement de signe dans les parages...non?

Anonyme

Re: Fonction continue

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:22

> > Par exemple la fonction x * sin(1/x) est continue en 0[color=green]
> > si on pose f(0) = 0 pourtant un tel ouvert n'existe pas.

>
> je ne sais pas si elle change de signe en 0....
>[/color]

Yann a bien fait la distinction, là on est dans le cas 1°) (le simple) après
y'a le cas 2°) où probablement on peut trouver un contre-exemple tordu.

Anonyme

Re: Fonction continue

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:22

Tu as raison. L'expression "s'annuler" en changeant
de signe" est probablement trop vague. L'exemple de
la fonction x * sin(1/x) le prouve.

Ma question n'avait donc pas vraiment de sens ...

Merci

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

Anonyme

Re: Fonction continue

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:22

Julien Santini a écrit
> Yann a bien fait la distinction, là on est dans
> le cas 1°) (le simple)


Alors que fait la fonction x * sin(1/x) en 0.
Change-t-elle de signe ?

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

Anonyme

Re: Fonction continue

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:22

"Pierre Capdevila" wrote in message
:
> Yann Villessuzanne a écrit dans le message de
>[color=green]
>> 2°) f(x_0) = 0 et il existe deux suites a_n et b_n
>> convergeant vers x_0 telles que a_n> et f(a_n)>0 et f(b_n)> Là, j'y crois beaucoup moins...

>
> Ne penses-tu pas que l'ensemble de tels points
> est nécessairement dénombrable ?[/color]

Non, et voici un contre-exemple :

Soit C l'ensemble triadique de Cantor, et d(x) la distance de x à C.

On va définir une fonction e(x) à valeurs dans {0,1,-1}, qui s'annule
exactement sur C, et localement constante sur [0,1] - C,
de sorte que f(x)=e(x)*d(x) est une fonction continue.

On part de la construction usuelle du Cantor :
C = intersection (C_n),
où à chaque étape on retire des intervalles ouverts de longueur 1/3^n.

Si x n'est pas dans C, on note h(x) le plus grand entier tel que x soit
dans C_{h(x)}.

On pose alors e(x) = 0 si x est dans C, et e(x) = (-1)^h(x) sinon.

On voit alors que l'ensemble D est C tout entier, qui n'est pas
dénombrable.

En plus, on ne peut même pas espérer que D soit de mesure nulle, car en
modifiant la construction précédente, on peut prendre un Cantor de
mesure > 0...

Bref, vive la tératologie.

--
Yann

Anonyme

Re: Fonction continue

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:22

"Pierre Capdevila" a écrit dans le message de news:
bqvrcu$26oue4$1@ID-138445.news.uni-berlin.de...
> Julien Santini a écrit[color=green]
> > Yann a bien fait la distinction, là on est dans
> > le cas 1°) (le simple)

>
> Alors que fait la fonction x * sin(1/x) en 0.
> Change-t-elle de signe ?
>[/color]

Heh je me suis mal exprimé; je faisais référence au point de vue de Osiris
qui te répondait: depuis le début Osiris s'est fixé sur le 1°), tandisque
toi t'es parti sur le 2°).

 

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