Bonjour,
mon problème vient de la question :" Existe-t-il une fonction à valeur
dans R continue sur [0,1], et qui ne soit jamais dérivable sur [0,1] ".
Bon, intuitivement ca parait dur ... alors j'ai eu l'idée suivante :
soit pour tout entier n, f_n(2k/n) = 0 et f_n((2k+1)/n) = 1, pour k
entre 0 et E(n/2), et f affine entre ces points. Pour tout n, f_n est
continue sur [0,1],et dérivable sauf aux points de la forme k/n.
Maintenant si j'introduis F = lim f_n, n->oo, F est toujours continue
.... mais plus jamais dérivable ... enfin, j'ai quand même un énorme
doute avec ma définition de la fonction... ai-je le droit de poser cette
fonction ? est ce même une fonction ?
Accessoirement la réponse au problème est elle oui ou non ?
--
albert
Fonction continue jamais dérivable ?
8 messages
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Re: Fonction continue jamais dérivable ?
par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:00
"albert junior" a écrit dans le message
de news: 41ACB3D6.3080901@hotmail.com...
> Bonjour,
>
> mon problème vient de la question :" Existe-t-il une fonction à valeur
> dans R continue sur [0,1], et qui ne soit jamais dérivable sur [0,1] ".
>
> Bon, intuitivement ca parait dur ... alors j'ai eu l'idée suivante :
> soit pour tout entier n, f_n(2k/n) = 0 et f_n((2k+1)/n) = 1, pour k entre
> 0 et E(n/2), et f affine entre ces points. Pour tout n, f_n est continue
> sur [0,1],et dérivable sauf aux points de la forme k/n. Maintenant si
> j'introduis F = lim f_n, n->oo, F est toujours continue ... mais plus
> jamais dérivable ... enfin, j'ai quand même un énorme doute avec ma
> définition de la fonction... ai-je le droit de poser cette fonction ? est
> ce même une fonction ?
Je laisse cela à ceux qui ont le courage.
> Accessoirement la réponse au problème est elle oui ou non ?
Oui, assurément : il existe des exemples dans la littérature.
de news: 41ACB3D6.3080901@hotmail.com...
> Bonjour,
>
> mon problème vient de la question :" Existe-t-il une fonction à valeur
> dans R continue sur [0,1], et qui ne soit jamais dérivable sur [0,1] ".
>
> Bon, intuitivement ca parait dur ... alors j'ai eu l'idée suivante :
> soit pour tout entier n, f_n(2k/n) = 0 et f_n((2k+1)/n) = 1, pour k entre
> 0 et E(n/2), et f affine entre ces points. Pour tout n, f_n est continue
> sur [0,1],et dérivable sauf aux points de la forme k/n. Maintenant si
> j'introduis F = lim f_n, n->oo, F est toujours continue ... mais plus
> jamais dérivable ... enfin, j'ai quand même un énorme doute avec ma
> définition de la fonction... ai-je le droit de poser cette fonction ? est
> ce même une fonction ?
Je laisse cela à ceux qui ont le courage.
> Accessoirement la réponse au problème est elle oui ou non ?
Oui, assurément : il existe des exemples dans la littérature.
Re: Fonction continue jamais dérivable ?
par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:00
> mon problème vient de la question :" Existe-t-il une fonction à valeur
> dans R continue sur [0,1], et qui ne soit jamais dérivable sur [0,1] ".
>
> Bon, intuitivement ca parait dur ... alors j'ai eu l'idée suivante :
> soit pour tout entier n, f_n(2k/n) = 0 et f_n((2k+1)/n) = 1, pour k
> entre 0 et E(n/2), et f affine entre ces points. Pour tout n, f_n est
> continue sur [0,1],et dérivable sauf aux points de la forme k/n.
> Maintenant si j'introduis F = lim f_n, n->oo, F est toujours continue
> ... mais plus jamais dérivable ... enfin, j'ai quand même un énorme
> doute avec ma définition de la fonction... ai-je le droit de poser cette
> fonction ? est ce même une fonction ?
Ben il faut avant savoir ce qu'est la limite d'une suite de fonctions: une
suite de réels ou de complexes, on apprend ça au lycée, mais une suite de
fonctions?
Il se trouve qu'il y a beaucoup de manières non équivalentes de définir la
limite d'une suite de fonctions.
Imaginons qu'on prenne la plus simple, i.e. f(x)=lim (f_n(x)) (on fixe x et
on fait tendre n vers l'infini).
Ceci s'appelle la limite simple de la suite f-n. Et malheureusement, elle a
peu de propriétés. En particulier, une limite simple de fonctions continues
n'est aps forcément continue (x^n sur [0,1] par exemple). Donc ton "F est
toujours continue" ne coule pas de source. D'autant plus que j'ai des doutes
sur les fait que tes suites f_n(x) soient toutes convergentes.
--
µ
Doucement, n'est pas audible ni heures ni mouettes, docilement le coeur est
coupé
> dans R continue sur [0,1], et qui ne soit jamais dérivable sur [0,1] ".
>
> Bon, intuitivement ca parait dur ... alors j'ai eu l'idée suivante :
> soit pour tout entier n, f_n(2k/n) = 0 et f_n((2k+1)/n) = 1, pour k
> entre 0 et E(n/2), et f affine entre ces points. Pour tout n, f_n est
> continue sur [0,1],et dérivable sauf aux points de la forme k/n.
> Maintenant si j'introduis F = lim f_n, n->oo, F est toujours continue
> ... mais plus jamais dérivable ... enfin, j'ai quand même un énorme
> doute avec ma définition de la fonction... ai-je le droit de poser cette
> fonction ? est ce même une fonction ?
Ben il faut avant savoir ce qu'est la limite d'une suite de fonctions: une
suite de réels ou de complexes, on apprend ça au lycée, mais une suite de
fonctions?
Il se trouve qu'il y a beaucoup de manières non équivalentes de définir la
limite d'une suite de fonctions.
Imaginons qu'on prenne la plus simple, i.e. f(x)=lim (f_n(x)) (on fixe x et
on fait tendre n vers l'infini).
Ceci s'appelle la limite simple de la suite f-n. Et malheureusement, elle a
peu de propriétés. En particulier, une limite simple de fonctions continues
n'est aps forcément continue (x^n sur [0,1] par exemple). Donc ton "F est
toujours continue" ne coule pas de source. D'autant plus que j'ai des doutes
sur les fait que tes suites f_n(x) soient toutes convergentes.
--
µ
Doucement, n'est pas audible ni heures ni mouettes, docilement le coeur est
coupé
Re: Fonction continue jamais dérivable ?
par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:00
albert junior , dans le message (fr.education.entraide.maths:59883), a
écrit :
> dans R continue sur [0,1], et qui ne soit jamais dérivable sur [0,1] ".
tu veux dire: dérivable en aucun point. c'est un classique, tu trouveras
ça dans pas mal de bouquins d'analyse et sur le web. Un article de Darboux
(1875) se trouve sur le web:
http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=ASENS_1875_2_4_
et donne des indications historiques sur le sujet.
> Bon, intuitivement ca parait dur ... alors j'ai eu l'idée suivante :
> soit pour tout entier n, f_n(2k/n) = 0 et f_n((2k+1)/n) = 1, pour k
> entre 0 et E(n/2), et f affine entre ces points. Pour tout n, f_n est
> continue sur [0,1],et dérivable sauf aux points de la forme k/n.
> Maintenant si j'introduis F = lim f_n, n->oo, F est toujours continue
Il faut justifier la convergence des f_n. Les convergence de suites de
fonctions, ça s'étudie en spé / 2e année de (ex)-DEUG; tu verras qu'en
général la convergence simple (point par point) n'implique pas la
continuité de la fonction limite; d'ailleurs, tu n'as pas justifié la
convergence ponctuelle, et elle me semble douteuse. Si k et m sont deux
nombres impairs avec 0<2k<m, alors f_n(k/m)=1 dès que m divise n. Donc, si
f existe et est continue, f(k/m)=1 en tout nombre de cette forme, et par
continuité, f=1 sur [0,1/2]... ce n'est pas vraiment ce que tu voulais.
Ceci dit, c'est une bonne idée de chercher un contre-exemple par toi-même.
Voici une indication: cherche une suite de fonctions continues (f_n) telle
que la fonction |f_n-f_{n+1}| est majorée par 2^{-n}. Alors les f_n
convergent vers une fonction f continue. En choisissant intelligemment les
f_n, arrange-toi pour que f ne soit dérivable nulle part.
--
Yves
écrit :
> dans R continue sur [0,1], et qui ne soit jamais dérivable sur [0,1] ".
tu veux dire: dérivable en aucun point. c'est un classique, tu trouveras
ça dans pas mal de bouquins d'analyse et sur le web. Un article de Darboux
(1875) se trouve sur le web:
http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=ASENS_1875_2_4_
et donne des indications historiques sur le sujet.
> Bon, intuitivement ca parait dur ... alors j'ai eu l'idée suivante :
> soit pour tout entier n, f_n(2k/n) = 0 et f_n((2k+1)/n) = 1, pour k
> entre 0 et E(n/2), et f affine entre ces points. Pour tout n, f_n est
> continue sur [0,1],et dérivable sauf aux points de la forme k/n.
> Maintenant si j'introduis F = lim f_n, n->oo, F est toujours continue
Il faut justifier la convergence des f_n. Les convergence de suites de
fonctions, ça s'étudie en spé / 2e année de (ex)-DEUG; tu verras qu'en
général la convergence simple (point par point) n'implique pas la
continuité de la fonction limite; d'ailleurs, tu n'as pas justifié la
convergence ponctuelle, et elle me semble douteuse. Si k et m sont deux
nombres impairs avec 0<2k<m, alors f_n(k/m)=1 dès que m divise n. Donc, si
f existe et est continue, f(k/m)=1 en tout nombre de cette forme, et par
continuité, f=1 sur [0,1/2]... ce n'est pas vraiment ce que tu voulais.
Ceci dit, c'est une bonne idée de chercher un contre-exemple par toi-même.
Voici une indication: cherche une suite de fonctions continues (f_n) telle
que la fonction |f_n-f_{n+1}| est majorée par 2^{-n}. Alors les f_n
convergent vers une fonction f continue. En choisissant intelligemment les
f_n, arrange-toi pour que f ne soit dérivable nulle part.
--
Yves
Re: Fonction continue jamais dérivable ?
par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:00
µ a écrit:
> Ben il faut avant savoir ce qu'est la limite d'une suite de fonctions: une
> suite de réels ou de complexes, on apprend ça au lycée, mais une suite de
> fonctions?
> Il se trouve qu'il y a beaucoup de manières non équivalentes de définir la
> limite d'une suite de fonctions.
> Imaginons qu'on prenne la plus simple, i.e. f(x)=lim (f_n(x)) (on fixe x et
> on fait tendre n vers l'infini).
> Ceci s'appelle la limite simple de la suite f-n. Et malheureusement, elle a
> peu de propriétés. En particulier, une limite simple de fonctions continues
> n'est aps forcément continue (x^n sur [0,1] par exemple). Donc ton "F est
> toujours continue" ne coule pas de source. D'autant plus que j'ai des doutes
> sur les fait que tes suites f_n(x) soient toutes convergentes.
Oui ...
c'est pour ca que j'avais des doutes, mais pourquoi ne pas tenter ...
à la limite ma construction se rapproche un petit peu de celle des
courbes présentées sur le site proposé par diabolix, que je remercie
encore car très bien fait et très intéressant...
--
albert
> Ben il faut avant savoir ce qu'est la limite d'une suite de fonctions: une
> suite de réels ou de complexes, on apprend ça au lycée, mais une suite de
> fonctions?
> Il se trouve qu'il y a beaucoup de manières non équivalentes de définir la
> limite d'une suite de fonctions.
> Imaginons qu'on prenne la plus simple, i.e. f(x)=lim (f_n(x)) (on fixe x et
> on fait tendre n vers l'infini).
> Ceci s'appelle la limite simple de la suite f-n. Et malheureusement, elle a
> peu de propriétés. En particulier, une limite simple de fonctions continues
> n'est aps forcément continue (x^n sur [0,1] par exemple). Donc ton "F est
> toujours continue" ne coule pas de source. D'autant plus que j'ai des doutes
> sur les fait que tes suites f_n(x) soient toutes convergentes.
Oui ...
c'est pour ca que j'avais des doutes, mais pourquoi ne pas tenter ...
à la limite ma construction se rapproche un petit peu de celle des
courbes présentées sur le site proposé par diabolix, que je remercie
encore car très bien fait et très intéressant...
--
albert
Re: Fonction continue jamais dérivable ?
par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:00
> mon problème vient de la question :" Existe-t-il une fonction à valeur
> dans R continue sur [0,1], et qui ne soit jamais dérivable sur [0,1] ".
>
Il existe beaucoup d'exemples de telles fonctions.
En voici un.
On pose f : x \in lR -> min({x-E(x), E(x)+1-x})
(E est la partie entière).
f(x) représente en fait la distance de x à Z.
On pose v_n : x \in lR -> f(10^n*x)/(10^n)
et V : x -> sum(v_n(x), n=0..infty).
On montre, avec des arguments de convergence uniforme notamment, que V est
définie continue et 1-périodique sur lR. Et on montre aussi que V n'est
dérivable en aucun point de lR.
Malheureusement je ne connais pas d'exemple d'une fonction répondant à ta
question et accessible au niveau sup. Les exemples les plus simples dont
j'ai déjà entendu parler font intervenir des séries d'applications.
> dans R continue sur [0,1], et qui ne soit jamais dérivable sur [0,1] ".
>
Il existe beaucoup d'exemples de telles fonctions.
En voici un.
On pose f : x \in lR -> min({x-E(x), E(x)+1-x})
(E est la partie entière).
f(x) représente en fait la distance de x à Z.
On pose v_n : x \in lR -> f(10^n*x)/(10^n)
et V : x -> sum(v_n(x), n=0..infty).
On montre, avec des arguments de convergence uniforme notamment, que V est
définie continue et 1-périodique sur lR. Et on montre aussi que V n'est
dérivable en aucun point de lR.
Malheureusement je ne connais pas d'exemple d'une fonction répondant à ta
question et accessible au niveau sup. Les exemples les plus simples dont
j'ai déjà entendu parler font intervenir des séries d'applications.
Re: Fonction continue jamais dérivable ?
par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:00
Romain M a écrit:[color=green]
>>mon problème vient de la question :" Existe-t-il une fonction à valeur
>>dans R continue sur [0,1], et qui ne soit jamais dérivable sur [0,1] ".
>>
>
>
> Il existe beaucoup d'exemples de telles fonctions.
> En voici un.
>
> On pose f : x \in lR -> min({x-E(x), E(x)+1-x})
> (E est la partie entière).
> f(x) représente en fait la distance de x à Z.
> On pose v_n : x \in lR -> f(10^n*x)/(10^n)
> et V : x -> sum(v_n(x), n=0..infty).
> On montre, avec des arguments de convergence uniforme notamment, que V est
> définie continue et 1-périodique sur lR. Et on montre aussi que V n'est
> dérivable en aucun point de lR.
>
> Malheureusement je ne connais pas d'exemple d'une fonction répondant à ta
> question et accessible au niveau sup. Les exemples les plus simples dont
> j'ai déjà entendu parler font intervenir des séries d'applications.
>
>[/color]
Merci pour ces exemples divers. C'est très sympa.
Effectivement celle qui m'a été proposée en début de fil, qui
visiblement est dûe à Weierstrass, est une série d'application ...
cependant la démonstration est assez accessible
--
albert
>>mon problème vient de la question :" Existe-t-il une fonction à valeur
>>dans R continue sur [0,1], et qui ne soit jamais dérivable sur [0,1] ".
>>
>
>
> Il existe beaucoup d'exemples de telles fonctions.
> En voici un.
>
> On pose f : x \in lR -> min({x-E(x), E(x)+1-x})
> (E est la partie entière).
> f(x) représente en fait la distance de x à Z.
> On pose v_n : x \in lR -> f(10^n*x)/(10^n)
> et V : x -> sum(v_n(x), n=0..infty).
> On montre, avec des arguments de convergence uniforme notamment, que V est
> définie continue et 1-périodique sur lR. Et on montre aussi que V n'est
> dérivable en aucun point de lR.
>
> Malheureusement je ne connais pas d'exemple d'une fonction répondant à ta
> question et accessible au niveau sup. Les exemples les plus simples dont
> j'ai déjà entendu parler font intervenir des séries d'applications.
>
>[/color]
Merci pour ces exemples divers. C'est très sympa.
Effectivement celle qui m'a été proposée en début de fil, qui
visiblement est dûe à Weierstrass, est une série d'application ...
cependant la démonstration est assez accessible
--
albert
Re: Fonction continue jamais dérivable ?
par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:00
Pour ceux que ça intéresse, une application du théorème de Baire est la
densité (pour la norme de la convergence uniforme) de l'ensemble des
fonctions continues nulle part dérivable dans l'espace des fonctions
continues sur [0,1].
C'est fait dans le Zuily-Quéfellec.
--
µ
Doucement, n'est pas audible ni heures ni mouettes, docilement le coeur est
coupé
densité (pour la norme de la convergence uniforme) de l'ensemble des
fonctions continues nulle part dérivable dans l'espace des fonctions
continues sur [0,1].
C'est fait dans le Zuily-Quéfellec.
--
µ
Doucement, n'est pas audible ni heures ni mouettes, docilement le coeur est
coupé
8 messages
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