Fibr´e vectoriel (question de definition)

[Anonyme]

Hello,

J'ai eu une définition d'un fibré vectoriel qui me semble un peu
bancale, est-ce que quelqu'un pourrait me préciser la chose? Quand je
dis bancale, c'est que mon intuition a du mal à s'y faire... bref, on
m'a donc dit ceci:

Soit M une variété différentiable, on appelle fibré vectoriel de rang k
sur M, une variété différentiable E munie d'une projection p : E -> M
différentiable, telle que les fibres p^(-1)(m) (m \in M) soient
isomorphes à R^k, et munie d'un atlas A de cartes de la forme:
(U x R^k, (phi, phi')) où:
(U,phi) sont des cartes de la variété M
phi' : U x R^k -> R^k : (m,v) -> phi'(m)v
où phi' est un isomorphisme linéaire QQS m \in M

Bon, le prof étant un peu "speedé" je me suis dit que j'avais sans doute
pas bien pris note (m étant dans M, phi' ne peut pas être un
isomorphisme linaire, celui-ci se rapportant certainement aux fibres),
aussi avais-je "corrigé" les deux dernieres lignes en:

phi' : U x R^k -> R^k : (m,v) -> phi"_m(v)
où phi"_m est un automorphisme de R^k QQS m \in M

Mais j'avoue qu'il me reste une "insatisfaction" car l'automorphisme
semble dépendre du point considéré, or j'aurais tendance à dire qu'il
doit dépendre de la carte dans laquelle on est. Bref, mon intuition en
prend un sale coup... et comme c'est plus une remarque que l'objet du
cours, je n'ai pas trop d'éléments dans mes notes qui me permettent de
trancher.

Tout ce qu'on me dit (et c'est pour ça que la définition a été donnée)
c'est que pour une variété X, on a un fibré TX appelé fibré tangeant, de
rang égal à la dimension de X, mais dans TX les cartes qu'on utilise
envoient (x,v) sur les coordonnées de x, suivies des coordonnées du
vecteur v dans la base d/dx_i. Bref le phi"_x de tout à l'heure a l'air
d'etre l'identité qqs x.

Tout ça pour savoir si ma définition est juste ou pas, et/ou si
quelqu'un a une petite référence web rapide

TIA.

--
Nico.