Famille sommable

[Anonyme]

Bonjour,

soit S(a,b)=Sum(n,n=>1, (mn)^(-a)*(m+n)^(-b))

pour quelles valeurs de a et b la somme S est sommable?

merci

[Anonyme]

On 05 May 2004 18:37:28 GMT, navilys2001@aol.com (Wenceslas) wrote:

>Bonjour,
>
>soit S(a,b)=Sum(n,n=>1, (mn)^(-a)*(m+n)^(-b))
>
>pour quelles valeurs de a et b la somme S est sommable?
>
une idée
as-tu essayé de
considérer la série
v_p= somme des (mn)^(-a)*(m+n)^(-b)avec m+n=p
ca marche pour le cas a=0 (dans ce cas il faut b>2)
mais là......
et c'est bien loin pour moi
>
>
>
>

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Pichereau Alain

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( olympiades mathématiques 1ère S )

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[Anonyme]

"Wenceslas" a écrit dans le message de news:
> soit S(a,b)=Sum(n,n=>1, (mn)^(-a)*(m+n)^(-b))
> pour quelles valeurs de a et b la somme S est sommable?

t'es sûr que ça n'a pas de rapport avec les questionns "précédentes" ?
parce que si tu sors juste une question d'uen épreuve comme ça, ça peut être
coriace...
je vais relire l'épreuve de Centrale en entier pour voir

[Anonyme]

Le 05 May 2004 18:37:28 GMT, Wenceslas à écrit
>Bonjour,
>
>soit S(a,b)=Sum(n,n=>1, (mn)^(-a)*(m+n)^(-b))
>
>pour quelles valeurs de a et b la somme S est sommable?
>
>merci

Posons :

u(m,n) = (mn)^(-a)*(m+n)^(-b)

Déjà on a u(m,n) > 0 qqs m,n


Condition suffisante :

mn > n
(m+n) > n

donc u(m,n) 1


Condition nécessaire :

S = S(1,n>=1) + S(m>=2,n>=1) séries à termes positifs donc
> S(1,n>=1)

u(1,n) = 1/n^a * 1/(n+1)^b ~ 1/n^(a+b) dont la série CV ssi a+b > 1


Bah voilà, c'est fini...



--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...

[Anonyme]

Le Thu, 06 May 2004 21:27:19 +0200, zwim à écrit
>Le 05 May 2004 18:37:28 GMT, Wenceslas à écrit[color=green]
>>Bonjour,
>>
>>soit S(a,b)=Sum(n,n=>1, (mn)^(-a)*(m+n)^(-b))
>>
>>pour quelles valeurs de a et b la somme S est sommable?
>>
>>merci
>
>Posons :
>
>u(m,n) = (mn)^(-a)*(m+n)^(-b)
>
>Déjà on a u(m,n) > 0 qqs m,n
>
>
>Condition suffisante :
>
>mn > n
>(m+n) > n
>
>donc u(m,n) 1[/color]

oouups, oublié la double sommation,

mn > n
(m+n) > m

donc u(m,n) 1 et b>1

>Condition nécessaire :
>
>S = S(1,n>=1) + S(m>=2,n>=1) séries à termes positifs donc[color=green]
> > S(1,n>=1)
>
>u(1,n) = 1/n^a * 1/(n+1)^b ~ 1/n^(a+b) dont la série CV ssi a+b > 1
>
>
>Bah voilà, c'est fini...[/color]

pas encore malheureusement...
reste à étudier les cas a1.



--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...

[Anonyme]

Le 05 May 2004 18:37:28 GMT, Wenceslas à écrit
>Bonjour,
>
>soit S(a,b)=Sum(n,n=>1, (mn)^(-a)*(m+n)^(-b))
>
>pour quelles valeurs de a et b la somme S est sommable?
>
>merci

Soit f(x,y) = (xy)^(-a)*(x+y)^(-b)

f(x,.) est >0 continue décroissante sur [1,+oo[
f(.,y) est >0 continue décroissante sur [1,+oo[

Donc tu en déduis que

f(m+1,n+1) 1 et b>1 étant réglés par l'étude directe de la série
double, étudions par exemple a=b=1.

J(1,1)
= int(x=1..+oo, int(y=1..+oo, 1/y(x+y) dy) 1/x dx)
= int(x=1..+oo, int(y=1..+oo, 1/y - 1/(x+y) dy) 1/x² dx)
= int(x=1..+oo, [y=1..+oo, -ln(1+x/y)] 1/x² dx)
= int(x=1..+oo, ln(1+x)/x² dx) CV (car ln(1+x)/x² =1 et aussi pour a=1 et
b>=1.

Reste les cas a1
Je ne vois pas vraiment de méthode simple...

Une idée ?





--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...

[Anonyme]

>f(m+1,n+1)
>et que par conséquent la série double sur IN*xIN* et l'intégrale sur
>[1,+oo[x[1,+oo[ sont de même nature
>
>Reste donc à étudier
>
>I(a,b) = int(x=1..+oo,y=1..+oo, (xy)^(-a)*(x+y)^(-b) dxdy)
>
>x et y étant symétriques, tu peux sommer d'abord sur x ou d'abord sur
>y, peu importe, ça ne changera pas la nature de l'intégrale, et par le
>théorème de Fubini, ce sera la nature de I(a,b).
>
>On peut donc se ramener à l'étude de
>
>J(a,b) = int(x=1..+oo, int(y=1..+oo, y^(-a)*(x+y)^(-b) dy) x^(-a) dx)
>
>Bonjour les intégrations par parties...
>
>Les cas a>1 et b>1 étant réglés par l'étude directe de la série
>double, étudions par exemple a=b=1.
>
>J(1,1)
>= int(x=1..+oo, int(y=1..+oo, 1/y(x+y) dy) 1/x dx)
>= int(x=1..+oo, int(y=1..+oo, 1/y - 1/(x+y) dy) 1/x² dx)
>= int(x=1..+oo, [y=1..+oo, -ln(1+x/y)] 1/x² dx)
>= int(x=1..+oo, ln(1+x)/x² dx) CV (car ln(1+x)/x²
>La série double CV pour a=1 et b=1
>
>donc par majoration triviale CV pour a=1 et b>=1 et aussi pour a=1 et
>b>=1.
>
>Reste les cas a1
>Je ne vois pas vraiment de méthode simple...[/color]

euh ouais, je comprends pourquoi je n'ai pas répondu à cette question