Exo de Probabilité

[Anonyme]

Bonjour Monsieur,
Je demande votre aide pour la resolution de mes exo de probabilité qui
suivent:

I)
On a décelé dans un élévage de moutons, une probabilité 0.3 pour qu'un
animal soit atteint par une maladie M. La probabilité qu'un mouton qui
n'est pas atteint par M ait une réaction négative à un test T est 0.9.
S'il est atteint par M, la probabilité qu'il ait une réaction positive
à T est 0.8.
Quelle est la probabilité qu'un mouton pris au hasard et ayant une
reaction positive soit atteint par M.

II)
On dispose de N+1 urnes, numérotées de 0 à N. L'urne numéroté "K"
contient K boules rouges et N-K boules blanches. On choisit une urne
au hasard sans connaitre son numéro, on tire n fois de suite une boule
avec remise après tirage.
1) Quelle est la probabilité que le (n+1)ième tirage donne encore une
boule rouge sachant que, aucours de n tirages, seules des boules
rouges ont été tirées?
2) Calculer la limite de cette probabilité lorsque N tend vers +
l'infini.

[Anonyme]

Le 06/04/2005, kaou a supposé :
> II)
> On dispose de N+1 urnes, numérotées de 0 à N. L'urne numéroté "K"
> contient K boules rouges et N-K boules blanches. On choisit une urne
> au hasard sans connaitre son numéro, on tire n fois de suite une boule
> avec remise après tirage.
> 1) Quelle est la probabilité que le (n+1)ième tirage donne encore une
> boule rouge sachant que, aucours de n tirages, seules des boules
> rouges ont été tirées?

Si on note A_p l'évènement "les n premières boules tirées sont rouges".
Calcule d'abord la probabilité de A_p.
Ensuite, la probabilité que l'on cherche est : P( A_{n+1} | A_n ).
Utilises la formule P(A | B)=P(A inter B) / P(B).
Quel lien a-t-on entre A_n et A_{n+1} ?
(si les n+1 premières boules sont rouges, alors les n premières sont
rouges !)
Par conséquent que vaut [ A_n inter A_{n+1} ] ?

[Anonyme]

kaou wrote:
> Bonjour Monsieur,
> Je demande votre aide pour la resolution de mes exo de probabilité qui
> suivent:
>
> I)
> On a décelé dans un élévage de moutons, une probabilité 0.3 pour qu'un
> animal soit atteint par une maladie M. La probabilité qu'un mouton qui
> n'est pas atteint par M ait une réaction négative à un test T est 0.9.
> S'il est atteint par M, la probabilité qu'il ait une réaction positive
> à T est 0.8.
> Quelle est la probabilité qu'un mouton pris au hasard et ayant une
> reaction positive soit atteint par M.

P : "reaction positive à T"
M : "animal atteint de M"

je note ¬P l'événement "non P"

Tu connais P(P|M), P(¬P|¬M) et P(M)

Tu cherches P(M|P). Il suffit d'écrire la formule de Bayes, tu connais
alors tous les termes sauf P(P|¬M).

Or : P(¬P|¬M) + P(P|¬M) = ... = 1 / P(¬M) (proba conditionnelles, +
calcul simple)

D'où P(P|¬M) = 1/P(¬M) - P(¬P|¬M)

et ainsi P(P|¬M)P(¬M) = 1 - P(¬P|¬M)P(¬M)

A.N. : tu devrais trouver 0.39 si je ne me suis pas trompé, ce qui
prouve que le test est tout de même sacrément merdique.