On consifère dans le plan un polygône P convexe à n sommets.
On appelle "diagonale" de P toute droite qui joint deux sommets non
consécutifs. On suppose que les diagonales se coupent deux à deux mais
non trois à trois.
Calculez le nombre de points d'intersections de ces diagonales qui
sont intérieurs à P.
[ On donnera la réponse sous forme de polynôme en n, décomposé
en produits de facteurs irréductibles, qui se trouvent être ... de
degré 1 ].
(Ne plus lire plus loin si vous voulez y réfléchir
).Voilà, J'ai passé pas mal de temps à réfléchir à ce problème et je
pense avoir une bonne solution, mais j'ai beaucoup de mal à la rédiger
et je n'arrive pas du tout à la transformer en un quelquonque polynôme.
Mais j'ai l'impression de pas prendre la raison par le bon bout.
(Il est plus facile de comprendre si vous faîtes un schema).
On indice les sommets de ce polygone: S1, S2, ..., SN de tel
facon que S1 et S2 soient consecutifs, S2 et S3 soient consecutifs, ...,
SN et S1 soient consécutifs.
Il est évident qu'il y n-3 diagonales issues de chaque sommet.
On pose d = n-3.
Donc pour tout Si (i variant de 1 à N),
(1) la diagonale issue de S(i+2) et de Si coupe seulement toutes les
diagonales issues de S(i+1), soit d diagonales.
(2) la diagonale issue de S(i+3) et de Si coupe seulement toutes les
diagonales issues de S(i+1) sauf la diagonale (S(i+1)S(i+3)) et toutes
les diagonales issues de S(i+2) sauf la diagonale (S(i+2)Si), soit
2d - 2 diagonales.
(3) la diagonale issue de S(i+4) et de Si coupe seulement toutes les
diagonales issues de S(i+1) sauf les diagonales (S(i+1)S(i+3)) et
(S(i+1)S(i+4) et toutes les diagonales issues de S(i+2) sauf les
diagonales (S(i+2)Si)) et (S(i+2)S(i+4)) et toutes les diagonales
issues de S(i+3) sauf les diagonales (S(i+3)Si) et (S(i+3)S(i+1), soit
3d - 6 diagonales.
..
..
..
(i) ...., soit id - i(i-1) diagonales.
..
..
..
(3) ...., soit 3d - 6 diagonales.
(2) ...., soit 2d - 2 diagonales.
(1) ...., soit d diagonales.
pour savoir le nombre de nouveaux il suffit alors de faire la somme, de
la multiplier par le nombre de sommets (n) et de diviser par 4 (car on a
comptais les intersections sur chaque diagonales deux fois et que pour
faire une intersection il faut deux diagonales).
Exemple pour n = 10, on d = 7.
7 + 2 x 7 - 2 + 3 x 7 - 6 + 4 * 7 - 12 + 3 x 7 - 6 + 2 x 7 - 2 + 7
= 7 + 12 + 15 + 16 + 15 + 12 + 7
= 84
et 84 * 10 / 4 = 210 nouveaux points. (Je vous laisse faire un dessin
pour verifier
: je l'ai fait !).Si quelqu'un a eu la pein de lire jusque là, une aide autant pour la
rédaction, que pour la logique, la démarche et cette histoire de
polynôme serai la bienvenue.
Merci beaucoup,
--
Marc.