[MP] espaces non complets?

[Anonyme]

Bonsoir à tous,

j'aimerais savoir si vous avez une idée d'espace vectoriel normé non
complet, et assez simple au niveau de sa construction quand même...merci!!

[Anonyme]

"diabolix" a écrit dans le message de news:
41bb2bf9$0$3445$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> Bonsoir à tous,
>
> j'aimerais savoir si vous avez une idée d'espace vectoriel normé non
> complet, et assez simple au niveau de sa construction quand même...merci!!

Q, muni de la valeur absolue !

[Anonyme]

diabolix wrote:

> j'aimerais savoir si vous avez une idée d'espace vectoriel normé non
> complet, et assez simple au niveau de sa construction quand même...merci!!

L'espace des polynomes, muni de la norme induite par le produit
scalaire:

= \int_0^1 P(x)Q(x)dx

La suite de polynomes P_n(X)=sum_{k=0}^n X^k/(k+1)^3 est une suite de
Cauchy (puisque |P_{n+1}-P_n|=1/(n+2)^2 est une série convergente), qui
ne converge pas vers un polynôme.

--
Benoît RIVET

[Anonyme]

"AlphaZeta" , dans le message (fr.education.entraide.maths:60122), a[color=green]
>> j'aimerais savoir si vous avez une idée d'espace vectoriel normé non
>> complet, et assez simple au niveau de sa construction quand même...merci!!
>
> Q, muni de la valeur absolue ![/color]

En MP, un espace vectoriel normé est toujours un espace vectoriel sur les
réels (ou complexes).

[Anonyme]

> j'aimerais savoir si vous avez une idée d'espace vectoriel normé non
> complet, et assez simple au niveau de sa construction quand même...merci!!
>

Bien entendu la réponse à ta question ne peut être qu'un espace vectoriel de
dimension infinie, car tu as sûrement vu (ou tu vas bientôt le voir) que
tout evn de dimension finie est complet.

L'ensemble E des suites (u_n) sommables (c'est-à-dire telles que la série de
terme général |u_n| converge),
muni de la norme || ||oo telle que :
|| (u_n) ||oo = sup({ |u_n|, pour n dans lN })
n'est pas complet.

En effet, soit la suite (x_j) d'éléments de E suivante
(notons pour j dans lN, x_j = (x_{j,n})_n)
x_{j,n} = 1/n si n = j
Je te laisse vérifier que cette suite est de Cauchy dans (E, || ||oo), mais
ne converge pas dans (E, || ||oo).

[Anonyme]

Et plus généralement, tout espace vectoriel à base dénombrable.
Par exemple R[X].

[Anonyme]

> Et plus généralement, tout espace vectoriel à base dénombrable.
> Par exemple R[X].

Le théorème de Baire n'est pas au programme en spé...

[Anonyme]

>> Et plus généralement, tout espace vectoriel à base dénombrable.[color=green]
>> Par exemple R[X].
>
> Le théorème de Baire n'est pas au programme en spé...[/color]

.... Mais tellement classique qu'il faut en avoir entendu parler!
Régulièrement des raisonnements de ce type sortent aux écrits des concours.

--
Mû