Equivalent?

[Anonyme]

Bonjour,

Soit fn(x)=x/(n^(1/2)*(1+nx²))

Soit S(x)=Sum(fn(x),n=1..+inf)

Alors S existe et il y a CVU sur R*.

On demande de trouver un equivalent de S en 0+

Bon déja on voit qu'en x=0 la serie ne va pas être convergente notre equivalent
sera qqch qui diverge.
Ce que j'ai fait c'est d'encadrer fn(x) par deux integrales et de sommer.

j'ai alors int(tx/(t^(1/2)*(1+tx²)),t=n..n+1) <= fn(x) <=
int(tx/(t^(1/2)*(1+tx²)),t=n-1..n)

alors j'ai séparé l'integrande en 2, puis moyennant 3 changements de variable
j'abouti à un truc monstreux apparamment inextricable. Est ce que c'est la
bonne methode ou pas?

merci

[Anonyme]

Wenceslas a écrit
> Soit fn(x)=x/(n^(1/2)*(1+nx²))
> Soit S(x)=Sum(fn(x),n=1..+inf)
> Alors S existe et il y a CVU sur R*.
> On demande de trouver un equivalent de S en 0+
> Bon déja on voit qu'en x=0 la serie ne va pas êtr
> convergente notre equivalent sera qqch qui diverge.

Pour x = 0 tous les f_n(x) sont nuls, donc la somme de la série est nulle.


> Ce que j'ai fait c'est d'encadrer fn(x) par deux integrales et de sommer.
> j'ai alors int(tx/(t^(1/2)*(1+tx²)),t=n..n+1) int(tx/(t^(1/2)*(1+tx²)),t=n-1..n)

Pourquoi cet encadrement ? Puisque la fonction
est décroissante S(x) doit je pense s'encadrer entre
l'intégrale de f(t) et celle de f(t-1).

On a f(t) = x/(t^(1/2)*(1+tx²)) = x*t / (t*(1+tx²))

en posant x*t = u je pense qu'on se ramène à intégrer
une fraction rationnelle ?


--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Pardon :

On a f(t) = x/(t^(1/2)*(1+tx²)) = x*t^(1/2) / (t*(1+tx²))

en posant x*t^(1/2 = u je pense qu'on se ramène
à intégrer une fraction rationnelle ...