équivalent

[Anonyme]

Bonjour
J'étudie la suite construite par la racine an dans ]0;1[ de x^n + x -1
Je montre quelle existe et est convergente vers 1 mais on me demande un
équivalent de 1-an= dn et là, je coince.
J'écris (1-dn) ^n = dn, je passe au logarithme mais rien n'en sort ou
plutôt, je ne vois rien en sortir.
Merci

[Anonyme]

> J'écris (1-dn) ^n = dn, je passe au logarithme mais rien n'en sort ou
> plutôt, je ne vois rien en sortir.

Peut etre (1-dn) = dn^{1/n}, logarithmes ...
Good luck !
Amities,
Olivier

[Anonyme]

Je ne vois pas ce que cela change !

"Olivier" a écrit dans le message de news:
41f4ccf1$0$25815$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
>> J'écris (1-dn) ^n = dn, je passe au logarithme mais rien n'en sort ou
>> plutôt, je ne vois rien en sortir.
>
> Peut etre (1-dn) = dn^{1/n}, logarithmes ...
> Good luck !
> Amities,
> Olivier
>[/color]

[Anonyme]

(1 - dn)^n me fait penser à un DL au voisinage de 0 ...(1+x)^a peut-être .

J-P M

"Cémoi" a écrit dans le message de news:
41f4f583$0$19398$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> Je ne vois pas ce que cela change !
>
> "Olivier" a écrit dans le message de news:
> 41f4ccf1$0$25815$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green][color=darkred]
> >> J'écris (1-dn) ^n = dn, je passe au logarithme mais rien n'en sort ou
> >> plutôt, je ne vois rien en sortir.
> >
> > Peut etre (1-dn) = dn^{1/n}, logarithmes ...
> > Good luck !
> > Amities,
> > Olivier
> >[/color]
>
>[/color]

[Anonyme]

> J'étudie la suite construite par la racine an dans ]0;1[ de x^n + x -1
> Je montre quelle existe et est convergente vers 1 mais on me demande un
> équivalent de 1-an= dn et là, je coince.
> J'écris (1-dn) ^n = dn, je passe au logarithme mais rien n'en sort ou
> plutôt, je ne vois rien en sortir.

On a effectivement (1-dn)^n = dn, soit an^n=1-an.
En passant au logarithme :
n*ln(an) = ln(1-an).

Par ailleurs, ln(1-t) ~ -t quand t->0,
donc ln(1-(1-an)) = ln(an) ~ 1-(1-an) = an-1.

On en déduit :
n*(an-1) ~ ln(1-an) (*)
L'équivalence n'est pas compatible en général avec la composition. Mais il y
a un théorème qui dit que :
si un ~ vn, avec un et vn >0, et un -> 0,
alors : ln(un) ~ ln(vn).
Appliquons ceci avec un = 1-an, et vn = -ln(1-an)/n.
(On vérifie que les hypothèses du théorème sont bien là...)
Ca nous donne :
ln(1-an) ~ ln(-ln(1-an)) - ln(n).
En revenant à la définition de "~" :
ln(-ln(1-an)) - ln(n) = ln(1-an) + o[ln(1-an)]. (**)

Or 1-an -> 0, donc ln(1-an) -> -infty,
d'où -ln(1-an) -> infty.
On sait que ln(x) = o(x) en +infty
(ou, version de la terminale : ln(x)/x -> 0 lorsque x->infty)
Cela nous donne :
ln(-ln(1-an)) = o[ln(1-an)].
En reportant dans (**) :
-ln(n) = ln(1-an) + o[ln(1-an)]
ce qui est la définition de :
-ln(n) ~ ln(1-an).
On reporte maintenant dans (*) :
n*(1-an) ~ ln(n)
Donc :
1-an = dn ~ ln(n)/n

[Anonyme]

Cémoi wrote:

>Je ne vois pas ce que cela change !
>
>
Ben log(1-dn)=log(dn)/n

et log(1-dn)=-dn+O(dn^2)

d'ou

-dn = log(dn)/n +O(dn^2)

et

-dn/log(dn)=1/n+O(dn^2/log(dn))

Or -dn/log(dn)=1/n aurait pour solution dn~log(n)/n

Conclure.
Olivier

[Anonyme]

> ln(an) ~ 1-(1-an) = an-1.
^^^
Il y a un petit 1 en trop