Enveloppe convexe et ouvert

[Anonyme]

Comment montrer que l'enveloppe convexe d'un ouvert est un ouvert ?

[Anonyme]

Eric wrote:
> Comment montrer que l'enveloppe convexe d'un ouvert est un ouvert ?

On se fatigue juste ce qu'il faut :
x est dans cette enveloppe convexe si et seulement si il existe
y et z dans l'ensemble de départ et a réel dans [0,1]
tels que x =ay+(1-a)z

Il existe epsilon tel que d'une part la boule de centre y de
rayon epsilon est dans l'ensemble de depart et d'autre part
le même chose avec z comme centre.

La boule de centre x de rauon epsilon est alors dans l'enveloppe
convexe de l'ensemble de départ.

Amitiés,
Olivier

[Anonyme]

ok, la prochaine je ferai un dessin ....

[Anonyme]

Eric wrote:
> ok, la prochaine je ferai un dessin ....

Ah oui, la dimension deux est toujours tres interessante
Amitiés,
Olivier

[Anonyme]

> On se fatigue juste ce qu'il faut :
> x est dans cette enveloppe convexe si et seulement si il existe
> y et z dans l'ensemble de départ et a réel dans [0,1]
> tels que x =ay+(1-a)z

Non, pas nécessairement (prendre un ensemble de départ formé de la réunion
de trois boules ouvertes "pas trop grosses" et dont les centres sont non
alignés).
En revanche, l'enveloppe convexe est la réunion des U_n pour
n décrivant n, où la suite (U_n) est définie par U_0=l'ouvert de départ
et, pour tout n, U_{n+1}=la réunion des segments dont les extrémités sont
des points de U_n.

Le reste de votre raisonnement (correct) permet de montrer que chacun des
U_n est ouvert, et donc leur réunion l'est également.

Clément.

[Anonyme]

>>x est dans cette enveloppe convexe si et seulement si il existe[color=green]
>> y et z dans l'ensemble de départ et a réel dans [0,1]
>> tels que x =ay+(1-a)z
>
>
> Non, pas nécessairement (prendre un ensemble de départ formé de la réunion
> de trois boules ouvertes "pas trop grosses" et dont les centres sont non
> alignés).
> En revanche, l'enveloppe convexe est la réunion des U_n pour
> n décrivant n, où la suite (U_n) est définie par U_0=l'ouvert de départ
> et, pour tout n, U_{n+1}=la réunion des segments dont les extrémités sont
> des points de U_n.[/color]

Oui, c'est vrai j'eu du prendre une combinaison lineaire finie
convexe. Zut et re zut
Amitiés,
Olivier