Demonstration

[Anonyme]

Est ce que quelqu'un peut me dire comment est ce que je démontre que racine
de 2 n'est pas un nombre rationnel ?

Je suppose que je doit supposer le contraire c'est a dire que racine de 2
est un rationnel, ce qui revient a dire qu'il existe a et b entiers tels que
V2=a/b ou a²=2b².
Je crois qu'il y a une histoire de derniers chiffres de a et b.

Merci d'avance.
(je suis en 2nde)

[Anonyme]

Bonjour

Vincent écrivait :

> ce qui revient a dire qu'il existe a et b
> entiers tels que V2=a/b ou a²=2b².

Il y avait un exo de seconde, il n'y a pas longtemps sur ce forum, ça
utilisait cette histoire de chiffre je crois, il y a 1 ou 2 semaines.

Sinon, la démo classique en ce point est de prendre la fraction
irréductible, c'est-à-dire a et b premiers entre eux ;
et de dire que a² est pair donc que a est pair, qu'il s'écrit a=2k.

alors a²=2b² ie, (2k)²=2b²
donc 2k²=b²,
de la même façon b est donc pair car b² est pair.

Mais là, on a a et b pairs, donc on peut simplifier par 2 dans la
fraction rac(2) = a/b, qu'on avait pris irréductible,
c'est absurde,

donc l'hypothèse de départ est fausse, à savoir que rac(2) s'écrit comme
fractions de deux entiers, il est donc irrationnel.


Un petit rappel quand même :
(ça peut paraître un peu difficile en seconde)

un nombre pair s'écrit 2k, k entier relatif
un nombre pair s'écrit 2k+1, k entier relatif.

Tout à l'heure on a utilisé le résultat :
un nombre est pair ssi son carré est pair
un nombre est impair ssi son carré est impair, qui se retrouve en
développant (2k)² et (2k+1)² :
(2k)² = 2(2k²)= 2K est pair
(2k+1)²=4(k²+k)+1=2K+1 est impair.


À bientôt.
--
Michel [overdose@alussinan.org]