Demonstration de la décomposition de dunford

[Anonyme]

Connaissez vous un site sur qui démontre la décomposition de Dunford?

Merci

[Anonyme]

"Barbadchov" a écrit dans le message de news:
c5um91$vnf$1@news-reader2.wanadoo.fr...
> Connaissez vous un site sur qui démontre la décomposition de Dunford?

Soit k un corps algébriquement clos (par ex : k=C), E un k-ev de dimension
finie, u en endomorphisme de E et P son polynôme caractéristique. Le corps k
étant scindé, le théorème des noyaux montre que E=sum(a dans Sp(u),
ker(u-aId)^m(a)) où m(a) est la multiplicité de a dans P.
Chaque F(a)=ker(u-aId)^m(a) est stable par u donc on note u_a
l'endomorphisme u restreint à F(a).
Par définition, (u_a - aId_F(a))^m(a)=0 donc u_a est la somme de
l'endomorphisme aId_F(a) et de l'endomorphisme nilpotent u_a - aId_F(a). En
considérant une base dans chaque F(a) et en concaténant ces différentes
bases, la matrice U de u dans cette nouvelle base est de la fome D+N où D
est diagonale et nilpotente. La commutation provient du calcul par bloc.

Pour la réciproque, si u=d+n avec dn=nd et d diagonalisable et n nilpotente.
Rappelons nous ce petit lemme : si A et B sont deux matrices telles que B
est nilpotente et AB=BA alors det(A+B)=det(A).

**
preuve : Si A est inversible, (A^(-1)B)^h=(A^(-h))B^h=0 si h est un entier
convenable donc A^(-1)B est nipotente et det(I+A^(-1)B)=1 (on trigonalise
A^(-1)B). et en multipliant par det(A) de part et d'autre de l'égalité, on
obtient le résultat escompté. Si k=C, on passe par densité des matrices
inversibles dans Mn(C), dans le cas général, si k est quelconque, on passe
par densité au sens de Zariski.

***
d-XId commute avec n. Ainsi, P(X)=det(u-XId)=det((d-Xid)+n)=det(d-Xid)=Q(X)
où P est le polynôme caractéristique de u et Q celui de d.
On en déduit que le spectre de u et d sont identiques et que leurs
multiplicités algébriques aussi. La matrice d étant diagonalisable, toutes
les multiplicités algébriques sont égales aux multiplicités géométriques.
On va même faire un peu mieux : soit u_a la restriction de u à F(a) et d_a
la restriction de d à F(a). Nous disposons de deux endomorphismes de F(a)
(F(a) est stabilisé par d car celui ci commute avec u) qui commutent.
Puisque le polynôme caractéristique de u_a est (X-a)^m(a), la remarque
précédente montre que le polynôme caractéristique de d_a est aussi
(X-a)^m(a). L'endomorphisme d_a étant diagonalisable et sa seule valeur
autorisée étant a, on en déduit que d_a=aId_F(a).

En particulier, d est égal à l'endomorphisme décrit (l'unique endo de E dont
la restriction à chaque F(a) est aId_F(a)dans l'implication directe donc d
est unique. De là, on en déduit que n=u-d est unique.

Je ne sais pas si c'est la démonstration standard (je ne l'ai jamais vu)
mais elle doit reposer sur ce genre d'idées. Cela te convient-il ?

[Anonyme]

masterbech a écrit :
> "Barbadchov" a écrit dans le message de news:
> c5um91$vnf$1@news-reader2.wanadoo.fr...
>[color=green]
>>Connaissez vous un site sur qui démontre la décomposition de Dunford?
>
>
> Soit k un corps algébriquement clos (par ex : k=C), E un k-ev de dimension
> finie, u en endomorphisme de E et P son polynôme caractéristique. Le corps k
> étant scindé, le théorème des noyaux montre que E=sum(a dans Sp(u),
> ker(u-aId)^m(a)) où m(a) est la multiplicité de a dans P.
> Chaque F(a)=ker(u-aId)^m(a) est stable par u donc on note u_a
> l'endomorphisme u restreint à F(a).
> Par définition, (u_a - aId_F(a))^m(a)=0 donc u_a est la somme de
> l'endomorphisme aId_F(a) et de l'endomorphisme nilpotent u_a - aId_F(a). En
> considérant une base dans chaque F(a) et en concaténant ces différentes
> bases, la matrice U de u dans cette nouvelle base est de la fome D+N où D
> est diagonale et nilpotente. La commutation provient du calcul par bloc.
>
> Pour la réciproque, si u=d+n avec dn=nd et d diagonalisable et n nilpotente.
> Rappelons nous ce petit lemme : si A et B sont deux matrices telles que B
> est nilpotente et AB=BA alors det(A+B)=det(A).
>
> **
> preuve : Si A est inversible, (A^(-1)B)^h=(A^(-h))B^h=0 si h est un entier
> convenable donc A^(-1)B est nipotente et det(I+A^(-1)B)=1 (on trigonalise
> A^(-1)B). et en multipliant par det(A) de part et d'autre de l'égalité, on
> obtient le résultat escompté. Si k=C, on passe par densité des matrices
> inversibles dans Mn(C), dans le cas général, si k est quelconque, on passe
> par densité au sens de Zariski.
>
> ***
> d-XId commute avec n. Ainsi, P(X)=det(u-XId)=det((d-Xid)+n)=det(d-Xid)=Q(X)
> où P est le polynôme caractéristique de u et Q celui de d.
> On en déduit que le spectre de u et d sont identiques et que leurs
> multiplicités algébriques aussi. La matrice d étant diagonalisable, toutes
> les multiplicités algébriques sont égales aux multiplicités géométriques.
> On va même faire un peu mieux : soit u_a la restriction de u à F(a) et d_a
> la restriction de d à F(a). Nous disposons de deux endomorphismes de F(a)
> (F(a) est stabilisé par d car celui ci commute avec u) qui commutent.
> Puisque le polynôme caractéristique de u_a est (X-a)^m(a), la remarque
> précédente montre que le polynôme caractéristique de d_a est aussi
> (X-a)^m(a). L'endomorphisme d_a étant diagonalisable et sa seule valeur
> autorisée étant a, on en déduit que d_a=aId_F(a).
>
> En particulier, d est égal à l'endomorphisme décrit (l'unique endo de E dont
> la restriction à chaque F(a) est aId_F(a)dans l'implication directe donc d
> est unique. De là, on en déduit que n=u-d est unique.
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> Je ne sais pas si c'est la démonstration standard (je ne l'ai jamais vu)
> mais elle doit reposer sur ce genre d'idées. Cela te convient-il ?
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Ok merci. C'est bien le même genre de démonstration que j'avais mais je
ne la comprenais plus tres bien.