Demonstration ensembliste

[Anonyme]

bonjour, voila, j'arrive pas a demonter cet chose suivantes
je suis sencé montré ca par une demonstration ensembliste

la somme de k=0 a n de n!/(k-1)!*(n-k)! = n*2^(n-1)



voila, merci

a6++

[Anonyme]

elekis a écrit :
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> bonjour, voila, j'arrive pas a demonter cet chose suivantes
> je suis sencé montré ca par une demonstration ensembliste
>
> la somme de k=0 a n de n!/(k-1)!*(n-k)! = n*2^(n-1)

Première chose: il vaut mieux sommet à partir de '1' que de '0', parce
que (-1)! n'a pas beaucoup de sens (par contre généralement C(n,-1) = 0,
par convention)

Là dessus, remarque que n!/(k-1)!(n-k)! = k * C(n,k)
Et tu peux par exemple te demander comment choisir des sous ensembles
contenant un élément différencié, dans un ensemble de cardinalité 'n'.

L'autre possibilité:
n!/(k-1)!(n-k)! = n * (n-1)!/(k-1)!(n-k)! = n * C(n-1,k-1)
Il faut alors prouver que la somme des C(n-1,k-1) = 2^(n-1)
Ou encore en changeant d'indice la somme des C(n-1,k) (cf remarque +
haut)

Là, tu as sans doute déjà fait le raisonnement: il s'agit de choisir des
sous ensemble de k éléments parmis n-1, et de sommer... donc il faut
trouver tous les sous ensembles. Pour savoir ça, ben chaque élément est,
ou n'est pas dans un sous ensemble donné... 2^(n-1) choix.

--
Nico.

[Anonyme]

elekis écrivait news:4002d29f$0$283
$ba620e4c@news.skynet.be:

> bonjour, voila, j'arrive pas a demonter cet chose suivantes
> je suis sencé montré ca par une demonstration ensembliste
>
> la somme de k=0 a n de n!/(k-1)!*(n-k)! = n*2^(n-1)
>


Dans le sens de ce qu'à dit Richard,
un ensemble E à n éléments étant donné,
il s'agit de dénombrer de deux manières différentes tous les
couples (a,X) où a est un élément de E n'appartenant pas
au sous-ensemble X de E.