Définition d'un espace topologique

[Anonyme]

Bonjour,

je ne comprend pas trop la définition d'un espace topologique, telle
qu'elle est donnée sur http://www.les-mathematiques.net/a/t/g/node3.php3

Dans la première phrase, il est dit que O est une partie de X.
Et dans la première condition de la définition, il est dit que que X
doit appartenir à O.

Dois-je en déduire que X=O ??

[Anonyme]

> Dans la première phrase, il est dit que O est une partie de X.


Non: O est une partie de P(X), autrement dit un ensemble dont les éléments
sont des parties de X.

--
Maxi

[Anonyme]

> Non: O est une partie de P(X), autrement dit un ensemble dont les éléments
> sont des parties de X.

Exemple typique: X est un espace métrique et O est l'ensemble des parties
ouvertes de X.

--
Maxi

[Anonyme]

> Non: O est une partie de P(X), autrement dit un ensemble dont les éléments
> sont des parties de X.

Cela n'implique-t-il pas que O est un sous-ensemble de X ?

J'imagine un sac à patates en toile de jute, X étant le sac, et les
patates les parties de X. O serait alors un sac plastique à l'intérieur
de ce sac, et qui contiendrait lui aussi des patates.

Si cette allégorie est sensée, dire que X appartient à O ne
siginifie-t-il pas que les deux sont confondus ?

[Anonyme]

Maxi a écrit:[color=green]
>>Non: O est une partie de P(X), autrement dit un ensemble dont les éléments
>>sont des parties de X.
>
>
> Exemple typique: X est un espace métrique et O est l'ensemble des parties
> ouvertes de X.
>[/color]

Si je comprend bien, supposons que l'espace métrique en question soit
R+, et que les parties ouvertes soient ]0,1[, ]1,2[, ]2,3[ ...
Nous avons alors O = R+ - { 0, 1, 2, 3, ...}

Mais dans ce cas là, nous n'avons pas X sui appartient à O...

[Anonyme]

> Si je comprend bien, supposons que l'espace métrique en question soit
> R+, et que les parties ouvertes soient ]0,1[, ]1,2[, ]2,3[ ...
> Nous avons alors O = R+ - { 0, 1, 2, 3, ...}
>
> Mais dans ce cas là, nous n'avons pas X sui appartient à O...


Non, O est un ensemble d'ensembles.
Par exemple, on pourrait prendre O={{},X}.

--
Maxi

[Anonyme]

> Si cette allégorie est sensée, dire que X appartient à O ne
> siginifie-t-il pas que les deux sont confondus ?
>

Non, prends O={X,vide}. Tu vois bien que X appartient à O mais O n'est pas
X.

[Anonyme]

Oodini a écrit :
> J'imagine un sac à patates en toile de jute, X étant le sac, et les
> patates les parties de X. O serait alors un sac plastique à l'intérieur
> de ce sac, et qui contiendrait lui aussi des patates.

une patate n'est pas "une partie" de ton ensemble de patates. Ca l'est
en français, mais en maths "une partie" est un ensemble. Donc un
ensemble de parties est un ensemble d'ensembles. Exemple!

{0,1,2,3} est un ensemble contenant 4 éléments: les nombres 0, 1, 2 et
3.
{{0},{1,2},3} est un ensemble contenant 3 éléments: l'élément {0} (qui
est un ensemlbe lui même constitué d'un élément: 0), l'élément {1,2}
(qui est un ensemble lui même constitué de 2 éléments: 1 et 2) et "3"
(qui n'est pas un ensemble mais un nombre)

Bref, il faut faire attention à ce qu'on pourrait intuitivement appeler
"profondeur" ou qqch du genre. Bref il y a des ensembles "tout cons", et
des ensembles qui en contiennent d'autres (et y'en a qui en contiennent
d'autres qui eux même contiennent des ensembles qui... etc...), et il
devient sensé d'écrire quelque chose comme:
QQS A,B \in O, A inter B \in O

Mais ce serait débile si on écrivait:
QQS x,y \in R, x inter y \in R (où R correspond à l'ensemble des réels)
parce que l'intersection de deux réel ça veut rien dire.


Alors attention, remarque: il y a la théorie des ensembles... enfin,
y'en a plein. Bref, dans les théories des ensembles on manipule
généralement... beaucoup d'ensembles! D'ailleurs même il n'y a que ça.
Bref, une fois qu'on est à ce point formel, il devient sensé de parler
de l'intersection de deux entiers ou des trucs du style... mais autant
oublier ça et rester un peu au stade que y'a plusieurs "niveau"
d'ensemble et qu'il faut faire gaffe : on n'est pas des boeufs, non
plus!!

--
Nico.

[Anonyme]

"Maxi" écrivait
news:3fcf557d$0$1153$636a55ce@news.free.fr:
[color=green]
>> Si je comprend bien, supposons que l'espace métrique en question soit
>> R+, et que les parties ouvertes soient ]0,1[, ]1,2[, ]2,3[ ...
>> Nous avons alors O = R+ - { 0, 1, 2, 3, ...}
>
> Non, O est un ensemble d'ensembles.
> Par exemple, on pourrait prendre O={{},X}.[/color]

C-à-d O = { ]0,1[ , ]1,2[ }
par exemple ?

[Anonyme]

Nicolas Richard écrivait
news:3FCFA1DD.E237017C@yahoo.fr:

> Oodini a écrit :[color=green]
>> J'imagine un sac à patates en toile de jute, X étant le sac, et les
>> patates les parties de X. O serait alors un sac plastique à l'intérieur
>> de ce sac, et qui contiendrait lui aussi des patates.
>
> une patate n'est pas "une partie" de ton ensemble de patates. Ca l'est
> en français, mais en maths "une partie" est un ensemble. Donc un
> ensemble de parties est un ensemble d'ensembles. Exemple![/color]

Ben en fait, j'avais vu les patates comme des sous-ensembles, mais j'avais
certe oublié de le préciser. Disons que les éléments de base sont des
doryphores qui grignottent les patates.

Donc, reprenons la définition du site, en nous limitant à la première
phrase:

"Dans toute la suite, X désignera un ensemble et O une partie de P(X)."

Donc, si X = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

P(X) = { vide, {1} , {1, 2} , {1, 2, 3}, {2,3}, ...,
{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }} (voir dénombrements...)
bref, tous les sous-ensembles possibles.
Ce qui donne, en utilisant les C(n,p):
2 * (1 + 10 + 45 + 120 + 210) + 252 = 1024
(tiens, 2^10 ???) éléments (qui sont des ENSEMBLES).

O pourrait alors être, par exemple: O = { {2,3}, {2, 4, 7} }

Mais la définition de l'espace topologique pose une condition:
X et l'ensembe vide appartiennent à O

Je comprend cette condition comme:
O doit comprendre AU MINIMUM les deux éléments
- vide
- { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

Exemples:

O1 = {vide, {1, 2} , { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } }
O2 = {vide, {1, 2} , {1, 2, 3}, { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } }
O3 = {vide, {2, 4, 7}, { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } }

Si vous pouviez me confirmer dans ce que je crois avoir compris, je vous
serais reconnaissant.

[Anonyme]

>
> Si vous pouviez me confirmer dans ce que je crois avoir compris, je vous
> serais reconnaissant.

C'est exact, il est nécessaire que O contienne, entre autres choses,
l'ensemble en entier, et le vide. Ainsi la topologie la plus pauvre est la
topologie grossière qui ne contient que X et le vide. La topologie la plus
riche est la topologie discrète, qui vaut P(E) (qui contient aussi X et le
vide, sinon ce serait pas une topologie ).

[Anonyme]

> C'est exact, il est nécessaire que O contienne, entre autres choses,
> l'ensemble en entier, et le vide. Ainsi la topologie la plus pauvre est la
> topologie grossière qui ne contient que X et le vide. La topologie la plus
> riche est la topologie discrète, qui vaut P(E) (qui contient aussi X et le
> vide, sinon ce serait pas une topologie ).

Merci à tous !!

[Anonyme]

Au fait, pourquoi les éléments de O sont-ils ouverts ??

[Anonyme]

Oodini , dans le message (fr.education.entraide.maths:51647), a écrit :
> Au fait, pourquoi les éléments de O sont-ils ouverts ??

Par définition. Quand on se donne une topologie, on se donne simplement
les ouverts et on les fourre tous dans ton ensemble O.

[Anonyme]

> Au fait, pourquoi les éléments de O sont-ils ouverts ??

Quand on se donne X et O comme dans la définition, les éléments de O sont
appelés ouverts car cette définition est faite pour que si X est un espace
métrique et O l'ensemble des ouverts de X, ce soit bien un espace
topologiques avec les mêmes ouverts que X.
Ca permet de mimer pas mal de définition: une application f:X->Y, où X et Y
sont des espaces topologiques, sera dite continue si l'image réciproque de
tout ouvert de Y est un ouvert de X, etc.

Mais en même temps on perd pas mal de propriétés: dans un espace métrique,
si x et y sont deux éléments distincts, il existe un ouvert U de X contenant
x et un ouvert V de X contenant y tels que U inter V est vide (ça entraîne
en particulier l'unicité de la limite d'une suite). Mais pour un espace
topologique ce n'est pas toujours vrai: prendre la topologie {vide, X} par
exemple...
Pour pouvoir faire des choses intéressantes, on est donc amené à rajouter
quand même quelques conditions sur la topologie pour pouvoir faire des
choses. Par exemple, on dira qu'une topologie O sur X est séparé si elle
possède la propriété donnée ci-dessus. Comme ça dans un espace séparé on a
unicité de la limite.

--
Maxi

[Anonyme]

[color=green][color=darkred]
> >> Si je comprend bien, supposons que l'espace métrique en question soit
> >> R+, et que les parties ouvertes soient ]0,1[, ]1,2[, ]2,3[ ...
> >> Nous avons alors O = R+ - { 0, 1, 2, 3, ...}
> >
> > Non, O est un ensemble d'ensembles.
> > Par exemple, on pourrait prendre O={{},X}.[/color]
>
> C-à-d O = { ]0,1[ , ]1,2[ }
> par exemple ?[/color]

Non, ce n'est pas possible
Car O doit être stable par réunion quelconque : si ]0,1[ et ]2,3[ sont dans
O, alors ]0,1[U]2,3[ aussi