Connexité (énoncé corrigé)

[Anonyme]

Bonsoir,

Comment montrer que H = ([0,1] x {0}) U ({0} x {0,1}]) U ({1/n; n entier
strct. positif} x [0,1]) est connexe mais non connexe par arcs?
ça doit être simple mais là je m'embrouille (c'est surtout le caractère
connexe qui m'intéresse; pour la connexité par arcs je pense qu'il faut
remarquer que H est non fermé, car A=(0,1/2) n'est pas dans H et tout
voisinage de A dans R^2 intersecte H; mais H devrait être fermé comme image
d'un compact par une application continue. Est-ce correct? ).

Merci

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Julien Santini

[Anonyme]

Julien Santini wrote:
> Comment montrer que H = ([0,1] x {0}) U ({0} x {0,1}]) U ({1/n; n entier
> strct. positif} x [0,1]) est connexe mais non connexe par arcs?


en faisant encore le dessin de H , on voit qu'il est clairement impossible
partant de n'importe quel point d'arriver à (0,1), c'est facile à voir vu qu'il
n'y a que deux directions de déplacement dans H.H n'est donc pas connexe par arcs...

Supposons que H soit partitionné en deux ouverts disjoints A et B avec (0,1) dans A.

Il est clair que A intersecte l'un des segments (1/n)x[0,1] et contient ainsi
tout le segment en question car les segments sont connexes.
Mais alors A contient aussi le segment [0,1]x{0} car la réunion de deux segments
d'intersection non vide est connexe...
Mais alors A contien ttous les segments (1/n)x[0,1] puisqu'ils intersectent tous
[0,1]x{0} et A contient tout H en fait....
H est donc connexe.