Calcul CPGE

[Anonyme]

Bonjour
Un exercice demande de prouver que le déterminant 1 1 1
a b c
a2 b2 c2
peut se décomposer en produit de 3 termes de degré 1...une piste?
Merci d'avance
Didier

[Anonyme]

> Bonjour
> Un exercice demande de prouver que le déterminant 1 1 1
> a b c
> a2 b2 c2
> peut se décomposer en produit de 3 termes de degré 1...une piste?

Google: Vandermonde

[Anonyme]

> Un exercice demande de prouver que le déterminant 1 1 1
> a b c
> a2 b2 c2
> peut se décomposer en produit de 3 termes de degré 1...une piste?

Ben retrancher la première colonne à la deuxième et à la troisième,
développer par rapport à la première ligne et utiliser le fait que b²-a² =
(b-a)*(b+a) ...

[Anonyme]

c'est un determinant 3x3 de Vandermonde!! il suffit d'appliquer la formule
du cours

"Didier" a écrit dans le message de
news:chclig$ho0$1@aphrodite.grec.isp.9tel.net...
> Bonjour
> Un exercice demande de prouver que le déterminant 1 1 1
> a b c
> a2 b2 c2
> peut se décomposer en produit de 3 termes de degré 1...une piste?
> Merci d'avance
> Didier

[Anonyme]

Julien Santini a écrit :
[color=green]
>>Bonjour
>>Un exercice demande de prouver que le déterminant 1 1 1
>>a b c
>>a2 b2 c2
>>peut se décomposer en produit de 3 termes de degré 1...une piste?
>
>
> Google: Vandermonde
>
>[/color]

Oui mais pas encore étudié....

[Anonyme]

> Oui mais pas encore étudié....

Ben justement si tu trouves pas de démo pour calculer le dét de Vandermonde
grâce à Google je veux bien me pendre !
Y'a aussi une méthode de calcul utilisant les poynômes (alternative
intéressante aux manips lignes colonnes).

[Anonyme]

> Ben justement si tu trouves pas de démo pour calculer le dét de
Vandermonde
> grâce à Google je veux bien me pendre !
> Y'a aussi une méthode de calcul utilisant les poynômes (alternative
> intéressante aux manips lignes colonnes).

La solution utilisant les polynomes fait appel aux manipulations des lignes
et des colonnes (et à une petite récurrence)...

[Anonyme]

Vincent Tejedor a écrit :[color=green]
>>Un exercice demande de prouver que le déterminant 1 1 1
>>a b c
>>a2 b2 c2
>>peut se décomposer en produit de 3 termes de degré 1...une piste?
>
>
> Ben retrancher la première colonne à la deuxième et à la troisième,
> développer par rapport à la première ligne et utiliser le fait que b²-a² =
> (b-a)*(b+a) ...
>
>[/color]

J'ai bien fait tout cela mais je ne trouve pas le "pont" qui me mènerait
à la solution...

[Anonyme]

ba c'est presque fini une fois que t'a fait ce qu'on t'a dit.

| 1 0 0 |
D = | a b-a c-a | = | b-a c-a |
| a² b²-a² c²-a² | | b²-a² c²-a² |
= (b-a)*(c-a)*(c+a) - (b-a)*(b+a)*(c-a)
= (b-a)*(c-a)*[c+a-b-a]
=(b-a)*(c-a)*(c-b)


"Didier" a écrit dans le message de
news: chei26$4ak$1@apollon.grec.isp.9tel.net...
> Vincent Tejedor a écrit :[color=green][color=darkred]
> >>Un exercice demande de prouver que le déterminant 1 1 1
> >>a b c
> >>a2 b2 c2
> >>peut se décomposer en produit de 3 termes de degré 1...une piste?
> >
> >
> > Ben retrancher la première colonne à la deuxième et à la troisième,
> > développer par rapport à la première ligne et utiliser le fait que b²-a²[/color][/color]
=[color=green]
> > (b-a)*(b+a) ...
> >
> >
>
> J'ai bien fait tout cela mais je ne trouve pas le "pont" qui me mènerait
> à la solution...[/color]

[Anonyme]

Romain M a écrit :

> ba c'est presque fini une fois que t'a fait ce qu'on t'a dit.
>
> | 1 0 0 |
> D = | a b-a c-a | = | b-a c-a |
> | a² b²-a² c²-a² | | b²-a² c²-a² |
> = (b-a)*(c-a)*(c+a) - (b-a)*(b+a)*(c-a)
> = (b-a)*(c-a)*[c+a-b-a]
> =(b-a)*(c-a)*(c-b)
>
>
> "Didier" a écrit dans le message de
> news: chei26$4ak$1@apollon.grec.isp.9tel.net...
>[color=green]
>>Vincent Tejedor a écrit :
>>[color=darkred]
>>>>Un exercice demande de prouver que le déterminant 1 1 1
>>>>a b c
>>>>a2 b2 c2
>>>>peut se décomposer en produit de 3 termes de degré 1...une piste?
>>>
>>>
>>>Ben retrancher la première colonne à la deuxième et à la troisième,
>>>développer par rapport à la première ligne et utiliser le fait que b²-a²[/color]
>
> =
>[color=darkred]
>>>(b-a)*(b+a) ...
>>>
>>>
>>
>>J'ai bien fait tout cela mais je ne trouve pas le "pont" qui me mènerait
>>à la solution...[/color]
>
>
>[/color]
Un grand merci pour ton aide mais je coince toujours (en plus à cause
d'une bricole j'en suis sur!)
Nous n'avons pas vu en cours le fait de pouvoir retrancher les colonnes
puis etc...
J'aimerai donc trouver uniquement avec ce que je connais, c'est à dire
la définition du déterminant de cramer qui me donne:
bc2+ca2+ab2-a2b-b2c-c2a ....je dois rater ma factorisation ensuite tu ne
crois pas?
encore merci

[Anonyme]

> Un grand merci pour ton aide mais je coince toujours (en plus à cause
> d'une bricole j'en suis sur!)
> Nous n'avons pas vu en cours le fait de pouvoir retrancher les colonnes
> puis etc...
> J'aimerai donc trouver uniquement avec ce que je connais, c'est à dire
> la définition du déterminant de cramer qui me donne:
> bc2+ca2+ab2-a2b-b2c-c2a ....je dois rater ma factorisation ensuite tu ne
> crois pas?

arg ... Cramer....
Bon, allons-y bourrin. Ton déterminant vaut
Delta = bc² + ca² + ab² - ac² - ba² - cb²
(jusque là, on est d'accord)
Delta = c²(b-a) +ca² + ab² - ba² - cb²
La feinte consiste à ajouter "abc - abc"(=0)
Delta = c²*(b-a) + (-abc) + a²c -b²c + abc + ab² -a²b
Delta = c²*(b-a) - ac*(b-a) - bc*(b-a) + ab*(b-a)
Delta = (b-a)*(c² - ac - bc +ab)
Delta = (b-a)*(c*(c-a) - b*(c-a) )
Delta = (b-a)(c-b)(c-a)

[Anonyme]

Un grand merci!

Vincent Tejedor a écrit :
[color=green]
>>Un grand merci pour ton aide mais je coince toujours (en plus à cause
>>d'une bricole j'en suis sur!)
>>Nous n'avons pas vu en cours le fait de pouvoir retrancher les colonnes
>>puis etc...
>>J'aimerai donc trouver uniquement avec ce que je connais, c'est à dire
>>la définition du déterminant de cramer qui me donne:
>>bc2+ca2+ab2-a2b-b2c-c2a ....je dois rater ma factorisation ensuite tu ne
>>crois pas?
>
>
> arg ... Cramer....
> Bon, allons-y bourrin. Ton déterminant vaut
> Delta = bc² + ca² + ab² - ac² - ba² - cb²
> (jusque là, on est d'accord)
> Delta = c²(b-a) +ca² + ab² - ba² - cb²
> La feinte consiste à ajouter "abc - abc"(=0)
> Delta = c²*(b-a) + (-abc) + a²c -b²c + abc + ab² -a²b
> Delta = c²*(b-a) - ac*(b-a) - bc*(b-a) + ab*(b-a)
> Delta = (b-a)*(c² - ac - bc +ab)
> Delta = (b-a)*(c*(c-a) - b*(c-a) )
> Delta = (b-a)(c-b)(c-a)
>
>[/color]

[Anonyme]

Vincent Tejedor wrote:
[color=green]
>> Un grand merci pour ton aide mais je coince toujours (en plus à cause
>> d'une bricole j'en suis sur!)
>> Nous n'avons pas vu en cours le fait de pouvoir retrancher les colonnes
>> puis etc...
>> J'aimerai donc trouver uniquement avec ce que je connais, c'est à dire
>> la définition du déterminant de cramer qui me donne:
>> bc2+ca2+ab2-a2b-b2c-c2a ....je dois rater ma factorisation ensuite tu ne
>> crois pas?
>
> arg ... Cramer....
> Bon, allons-y bourrin. Ton déterminant vaut
> Delta = bc² + ca² + ab² - ac² - ba² - cb²
> (jusque là, on est d'accord)
> Delta = c²(b-a) +ca² + ab² - ba² - cb²
> La feinte consiste à ajouter "abc - abc"(=0)[/color]

La feinte consiste surtout a constater, avec les proprietes elementaires du
determinant, que celui-ci est un polynome en a, b et c, et qu'il est nul si
deux colonnes sont egales. Donc

Delta=A(b-a)(c-a)(c-b)

ou A est une constante en raison des degres, ou bien en comparant a
l'expression developpee obtenue par Cramer. Sauf que c'est pas Cramer, mais
la regle de Sarrus. On verifie que la constante A est egale a 1, rideau.

\bye

--

Nicolas FRANCOIS
http://nicolas.francois.free.fr

We are the Micro$oft.
Resistance is futile.
You will be assimilated.

[Anonyme]

Vincent Tejedor wrote:
[color=green]
>> Ben justement si tu trouves pas de démo pour calculer le dét de
> Vandermonde
>> grâce à Google je veux bien me pendre !
>> Y'a aussi une méthode de calcul utilisant les poynômes (alternative
>> intéressante aux manips lignes colonnes).
>
> La solution utilisant les polynomes fait appel aux manipulations des
> lignes et des colonnes (et à une petite récurrence)...[/color]

Non, voir mon autre message. Pas de manipulations, juste des constatations
et l'utilisation de la formule

somme(produit(x_{sigma(i),i},i=1..3),sigma in S_3)

\bye

--

Nicolas FRANCOIS
http://nicolas.francois.free.fr

We are the Micro$oft.
Resistance is futile.
You will be assimilated.