[MP]Algèbre:espaces de dim infinis

[Anonyme]

(re)Bonsoir à tous,

Pourriez vous me dire si le fait de trouver un isomorphisme d'un espace de
dimension infinie vers un espace E, est suffisant pour conclure que E est de
dimension infinie?

Merci d'avance

[Anonyme]

ultrawave a écrit :
> (re)Bonsoir à tous,
>
> Pourriez vous me dire si le fait de trouver un isomorphisme d'un espace de
> dimension infinie vers un espace E, est suffisant pour conclure que E est de
> dimension infinie?
Oui cela est suffisant, il suffit d'avoir un homorphisme injectif pour
affirmer que E est de dimension infinie.
>
> Merci d'avance
>
>

[Anonyme]

"soutiens maths" a écrit dans le message de news:
41ec2cc0$0$29121$626a14ce@news.free.fr...
>
>
> ultrawave a écrit :[color=green]
>> (re)Bonsoir à tous,
>>
>> Pourriez vous me dire si le fait de trouver un isomorphisme d'un espace
>> de dimension infinie vers un espace E, est suffisant pour conclure que E
>> est de dimension infinie?
> Oui cela est suffisant, il suffit d'avoir un homorphisme injectif pour
> affirmer que E est de dimension infinie.[/color]

En effet, l'image par un morphisme injectif d'une famille libre est libre.

[Anonyme]

Merci; et pour continuer dans la même voie, si un isomorphisme existe entre
un ev de dim finie et un autre ev, alors ce dernier est de dim finie, vs
etes d'accord?
"Cyberchand" a écrit dans le message de news:
cshbpe$lvd$1@lucas.loria...
>
> "soutiens maths" a écrit dans le message de news:
> 41ec2cc0$0$29121$626a14ce@news.free.fr...[color=green]
>>
>>
>> ultrawave a écrit :[color=darkred]
>>> (re)Bonsoir à tous,
>>>
>>> Pourriez vous me dire si le fait de trouver un isomorphisme d'un espace
>>> de dimension infinie vers un espace E, est suffisant pour conclure que E
>>> est de dimension infinie?
>> Oui cela est suffisant, il suffit d'avoir un homorphisme injectif pour
>> affirmer que E est de dimension infinie.[/color]
>
> En effet, l'image par un morphisme injectif d'une famille libre est libre.
>[/color]

[Anonyme]

> Merci; et pour continuer dans la même voie, si un isomorphisme existe
> entre
> un ev de dim finie et un autre ev, alors ce dernier est de dim finie, vs
> etes d'accord?

Oui, car un isomorphisme est en particulier surjectif.
On a même mieux: si un tel isomorphisme existe, l'espace d'arrivée est de
dimension finie égale à celle de l'espace de départ.

--
Mû

[Anonyme]

ultrawave wrote:
> Merci; et pour continuer dans la même voie, si un isomorphisme existe entre
> un ev de dim finie et un autre ev, alors ce dernier est de dim finie, vs
> etes d'accord?

Reprenons : qu'est ce qu'un isomorphisme ?
-- Version ensembliste --

Une application qui preserve les structures
qui interviennent.

Et ce qu'il faut comprendre :
** Toute demonstration passe de l'ensemble
de depart a l'ensemble d'arrivee **
** Tout enonce vrai dans l'ensemble de depart
l'est dans l'ensemble d'arrivee et vice-versa **
Evidemment, tout enonce qui ne fasse intervenir que les
structures preservees par l'isomorphisme.
Une fois que l'on a compris cela, on a compris ce
qu'etait un isomorphisme. Et on peut attaquer les
notions de morphismes.

Exemple avec phi : E -> F ev, phi isomorphisme, l'enonce
"il existe u1, u2, u3 dans E avec
[pour tout x1, x2, x3 dans R,
[x1u1+x2u2+x3u3=0 => x1=x2=x3=0] ]"
devient
"il existe v1, v2, v3 dans F avec
[pour tout x1, x2, x3 dans R,
[x1v1+x2v2+x3v3=0 => x1=x2=x3=0] ]"
Preuve : ....

JQCA, O.

[Anonyme]

"Olivier" a écrit dans le message de news:
41ed8ad3$0$6401$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> ultrawave wrote:

> Reprenons : qu'est ce qu'un isomorphisme ?
> -- Version ensembliste --
>
> Une application qui preserve les structures
> qui interviennent.
>
> Et ce qu'il faut comprendre :
> ** Toute demonstration passe de l'ensemble
> de depart a l'ensemble d'arrivee **
> ** Tout enonce vrai dans l'ensemble de depart
> l'est dans l'ensemble d'arrivee et vice-versa **

Et pour enfoncer le cou, il faut comprendre qu'on ne peut distinguer
d'aucune manière deux ev isomorphes (du moins pour l'aspect ev), si bien
qu'il n'y a plus vraiment de différence entre E=F et E isomorphe à F, si on
ne prend en compte que la structure d'espace vectoriel.

[Anonyme]

> Et pour enfoncer le cou, il faut comprendre qu'on ne peut distinguer
> d'aucune manière deux ev isomorphes (du moins pour l'aspect ev), si bien
> qu'il n'y a plus vraiment de différence entre E=F et E isomorphe à F, si
> on ne prend en compte que la structure d'espace vectoriel.

Bof... Il y en a plein, des isomorphismes, et pas forcément un "plus beau
que les autres"!
Si on se donne avec tout espace vectoriel de dimension finie une base, c'est
différent, il y a bien un isomorphime canonique envoyant base sur base.

--
Mû