Norme et ev de dim infinie

[Anonyme]

Bonjour,

J'ai un petit problème qui me turlupine.

On sait que tout ev E, sur K, de dimension finie n possède une norme.
La démonstration est simple, il suffit d'utiliser le fait que E est
isomorphe à K^n ainsi que les normes courantes sur K^n.
Mais qu'en est-il en dimension infinie ?

C'est un peu comme un caillou dans ma chaussure
Si quelqu'un peut m'aider, je l'en remercie.

René James.

[Anonyme]

René James a écrit
> Mais qu'en est-il en dimension infinie ?

Bonjour René.

Personnellement je pense qu'il n'existe pas de preuve qu'une e.v. peut
toujours être muni d'une norme. Mais je pense aussi qu'il n'existe pas
d'exemple d'e.v. sur lequel on n'a jamais pu mettre une norme. Mais c'est
tout à fait subjectif et cela n'engage que moi. C'est donc loin d'être très
fiable...

Amitiés

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Le Fri, 28 Nov 2003 20:15:33 +0100,
Pierre Capdevila grava à la saucisse et au marteau:

> Personnellement je pense qu'il n'existe pas de preuve qu'une e.v. peut
> toujours être muni d'une norme. Mais je pense aussi qu'il n'existe pas
> d'exemple d'e.v. sur lequel on n'a jamais pu mettre une norme. Mais c'est
> tout à fait subjectif et cela n'engage que moi. C'est donc loin d'être très
> fiable...

Bah, l'espace des fonctions de R dans R, sans contrainte de continuité,
on peut mettre une norme dessus? J'ai l'impression qu'on ne peut y
définir que des semi-normes.

--
Nicolas

[Anonyme]

Nicolas Le Roux , dans le message (fr.education.entraide.maths:51476), a
écrit :
> Bah, l'espace des fonctions de R dans R, sans contrainte de continuité,
> on peut mettre une norme dessus? J'ai l'impression qu'on ne peut y
> définir que des semi-normes.

Si (e_i) (i parcourant un ensemble d'indices I) est une base de E,
on peut toujours considérer la norme infinie relativement à cette
base. Soit x un vecteur de E, alors x s'écrit sum(lambda_i e_i)
où seulement un nombre fini de lambda_i est nul, et on choisit pour
||x|| le max des |lambda_i|. Il me semble que ça marche tout le
temps.

Maintenant, effectivement, ça n'a généralement aucun intérêt.

[Anonyme]

Le Fri, 28 Nov 2003 19:24:01 +0000 (UTC),
Xavier Caruso grava à la saucisse et au marteau:

> où seulement un nombre fini de lambda_i est nul, et on choisit pour

Non nul plutôt, je suppose.

> Maintenant, effectivement, ça n'a généralement aucun intérêt.

Ah, ça, c'est une autre question

--
Nicolas

[Anonyme]

Nicolas Le Roux a écrit
> Bah, l'espace des fonctions de R dans R, sans contrainte de continuité,
> on peut mettre une norme dessus? J'ai l'impression qu'on ne peut y
> définir que des semi-normes.

On peut par exemple prendre || f || = sup |f(x)| pour x dans R avec || f ||
= +oo si f n'est pas bornée et les conventions habituelles d'addition et de
multiplication dans R U {+oo}. Je pense que c'est une norme.

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Nicolas Le Roux , dans le message (fr.education.entraide.maths:51478), a
écrit :[color=green]
>> où seulement un nombre fini de lambda_i est nul, et on choisit pour
>
> Non nul plutôt, je suppose.[/color]

Ouais, ouais... non nul.
[color=green]
>> Maintenant, effectivement, ça n'a généralement aucun intérêt.
>
> Ah, ça, c'est une autre question [/color]

Enfin, disons que ça a autant d'intérêt que de savoir que tout espace
vectoriel admet une base : ça permet de dire de jolies généralités et
de donner plein de jolies propriétés à plein de jolies catégories...

--
Xavier, moqueur.

[Anonyme]

Pardon, j'avais oublié qu'une norme prend ses
valeurs dans R, et pas dans R U {+oo}


--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

"Pierre Capdevila" , dans le message
(fr.education.entraide.maths:51479), a écrit :
> On peut par exemple prendre || f || = sup |f(x)| pour x dans R avec || f ||
> = +oo si f n'est pas bornée et les conventions habituelles d'addition et de
> multiplication dans R U {+oo}. Je pense que c'est une norme.

Une norme, normalement, par définition, ça vaut pas +infty... et il y a
même des raisons, genre comment parles-tu de l'inégalité triangulaire dans
ton cas ?

[Anonyme]

Xavier Caruso a écrit:

> Maintenant, effectivement, ça n'a généralement aucun intérêt.

Je sais pas trop. Par contre à un oral, si tu balances la propriété
sur les ev de dim finie, il faut s'attendre à être cuisiné sur la
dimension infinie.

Merci.

René James