Aide: Développement asymptotique d'une série

[Anonyme]

Je n'arrive pas à trouver le développement asymptotique en l'infinie de
la série de terme générale : un=exp(n)/n.
Pourriez m'indiquez une piste ?

Merci

[Anonyme]

"barbadchov" a écrit dans le message de news:
419cabc2$0$24231$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> Je n'arrive pas à trouver le développement asymptotique en l'infinie de
> la série de terme générale : un=exp(n)/n.

Tu veux plutôt parler de l'asymptotique de la somme des n premiers termes de
la suite.
Pour cela, tu justifie que la fonction f(x)=exp(x)/x est croissante pour x
suffisamment grand (disons x0>n0) et tu utilises la comparaison série
intégrale sur l'intervalle [n0,N]. Tu aboutis à trouver un équivalent
asymptotique de l'intégrale int(t=n0 à N, exp(x)/x dx)
Tu procèdes par IPP (en dérivant exp(x)) puis en utilisant que exp(x)/x^2 =
o(exp(x)/x), tu obtiens par le théorème sur les intégrales divergentes que
int(t=n0 à N, exp(x)/x^2 dx = o(int(t=n0 à N, exp(x)/x dx)
donc int(t=n0 à N) exp(x)/x dx = exp(N)*ln(N) +o(int(t=n0 à N, exp(x)/x
dx), c'est-à-dire que que
sum(n=1 à N, exp(n)/n) ~ exp(N)/N quznd N-->+oo


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[Anonyme]

masterbech wrote:
> "barbadchov" a écrit dans le message de news:
> 419cabc2$0$24231$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>[color=green]
>>Je n'arrive pas à trouver le développement asymptotique en l'infinie de
>>la série de terme générale : un=exp(n)/n.
>
>
> Tu veux plutôt parler de l'asymptotique de la somme des n premiers termes de
> la suite.
> Pour cela, tu justifie que la fonction f(x)=exp(x)/x est croissante pour x
> suffisamment grand (disons x0>n0) et tu utilises la comparaison série
> intégrale sur l'intervalle [n0,N]. Tu aboutis à trouver un équivalent
> asymptotique de l'intégrale int(t=n0 à N, exp(x)/x dx)
> Tu procèdes par IPP (en dérivant exp(x)) puis en utilisant que exp(x)/x^2 =
> o(exp(x)/x), tu obtiens par le théorème sur les intégrales divergentes que
> int(t=n0 à N, exp(x)/x^2 dx = o(int(t=n0 à N, exp(x)/x dx)
> donc int(t=n0 à N) exp(x)/x dx = exp(N)*ln(N) +o(int(t=n0 à N, exp(x)/x
> dx), c'est-à-dire que que
> sum(n=1 à N, exp(n)/n) ~ exp(N)/N quznd N-->+oo
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Je ne comprend pas tes trois dernieres lignes.
Pourrais tu me détailler ton raisonnement?
Merci.