Vous avez dit monotone ?

par **Imod** » 31 Aoû 2008, 22:13

Un exercice amusant :we:

Une fonction monotone de [0;1] dans [0;1] admet-elle toujours un point fixe ?

Imod

par **guigui51250** » 31 Aoû 2008, 22:18

Imod a écrit:Un exercice amusant :we:

Une fonction monotone de [0;1] dans [0;1] admet-elle toujours un point fixe ?

Imod

euh j'ai pas très bien compris le sens de "point fixe"??

par **miikou** » 31 Aoû 2008, 22:18

sans hypothese de continuité, la reponse est non, sinon on etudie f(x)-x en 0 et 1, il s'avère que les deux valeures sont de signes opposés, dout la conlusion quil existe un x dans [0,1] tq f(x)-x=0

ps: guigui un point fixe est un x tq f(x)=x

par **Imod** » 31 Aoû 2008, 22:23

guigui51250 a écrit:euh j'ai pas très bien compris le sens de "point fixe"??

f(x)=x .

Imod

par **Imod** » 31 Aoû 2008, 22:25

miikou a écrit:sans hypothese de continuité, la reponse est non ...

Contre-exemple ?

Imod

par **miikou** » 31 Aoû 2008, 22:30

f(x) = -x+1 si x < 1/2
f(x) = 0 si x superieur ou egal a 1/2 ca marche non ?

par **Imod** » 31 Aoû 2008, 22:35

D'accord :++: et si la fonction est croissante ?

Imod

par **miikou** » 31 Aoû 2008, 22:45

si f est croissante alors il existe un point fixe ;)

par **Imod** » 31 Aoû 2008, 22:49

C'est vrai que je suis pénible mais : preuve ?

Imod

par **lapras** » 31 Aoû 2008, 23:26

si f constante c'est évident
sinon f strictement croissante
si on suppose f(x) différent de x pour tout x,
donc f(x)>x pour tout x de [0;1] ou f(x)dans le premier cas f(1)>1 absurde
dans le deuxieme f(0)<0 absurde
:++:

par **abcd22** » 31 Aoû 2008, 23:38

lapras a écrit:si f constante c'est évident
sinon f strictement croissante

Tu es sûr ?

si on suppose f(x) différent de x pour tout x,
donc f(x)>x pour tout x de [0;1] ou f(x)<x pour tout x de [0;1]

f n'est pas continue.

par **Imod** » 31 Aoû 2008, 23:40

lapras a écrit:si f constante c'est évident sinon f strictement croissante

Non !

lapras a écrit:si on suppose f(x) différent de x pour tout x ,donc f(x)>x pour tout x de [0;1] ou f(x)<x pour tout x de [0;1]

Et encore non !

Le passage du local au global n'est jamais simple en analyse :we:

Imod

par **lapras** » 31 Aoû 2008, 23:46

Excusez moi j'ai considéré f continue ! :happy2:

par **Nightmare** » 01 Sep 2008, 00:23

Salut :happy3:

Quand on a plus d'hypothèse de continuité, on m'a toujours appris de revenir aux fondements des réels ! En l'occurrence ici, notre cher borne sup devrait faire l'affaire :happy3:

Si on fait un dessin, on se rend compte que tout se joue sur l'ensemble

Il suffit de montrer que la borne inf (qui existe puisque f(1) f[f(y)] < f(y)
On en déduit que

Au final

:happy3:

par **miikou** » 01 Sep 2008, 01:02

:lol4: bien vu

par **Imod** » 01 Sep 2008, 11:27

Rien à ajouter !

Imod

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