Un volume

[aviateur]

Bonjour
Je mets cette question dans la rubrique énigme. Elle ne vient pas de moi , mais telle qu'elle est posée, elle me commence à me donner des problèmes.
Mon soucis c'est: un tel énoncé définit-il correctement E?.

Je suis bloqué sur cette question :
Calculez le volume du solide E borné par les surfaces
Note : ne pas utiliser d'intégrale triple.

[Ben314]

Salut,
Juste une question (à la con) : si on ne doit pas "utiliser d'intégrales triples", on prend quoi comme définition du "volume" d'un objet ? (ou alors, il faut arriver à calculer un volume... sans avoir de définition de ce qu'est un volume...)

[aviateur]

Bonjour @ben314.
Bon là, ça ne me dérange pas trop encore. L' intégrale triple étant elle même définie à partir de volumes d'objets élémentaires.
Non ce qui me gêne c'est la définition de E qui pour moi n'est pas unique. De plus l'emploi du mot "borné" prête à confusion.
On peut très bien reposer la question avec trois surfaces qui délimitent plusieurs ouverts, connexes, bornés ou non (au sens simple du terme) et de volume finie (i.e mesurable et de mesure finie).
J'ai eu des problèmes à me faire comprendre.
Je pense que l'on peut trouver un petit exemple (avec calcul assez aisé) où il y a au moins 2 domaines de volume fini car ici ce n'est pas le cas.

[pascal16]

prend une ellipsoïde coupée par deux plans parallèle (ou pas)
ellipsoïde est coupée dans le cas général en 3 ou 4 zones de volume fini.


Tout à fait "intérieur" est bien défini avec des intersection de plans, mais pas avec des plans et des surfaces courbes (cas de ton z=x²).

[ps] bien plus simple :
-> le cercle de centre de 1 et de centre 0
-> le plan z=0
-> le plan x=0
-> le plan y=0
8 zones !
toutes définissables par le signe en dehors du plan de chaque équation de plan

[Ben314]

Si c'est ça la question, effectivement, j'ai jamais bien compris pourquoi certains enseignants posaient ce type de question en terme de volume délimité par des surfaces dont on donne les équations (qui peut effectivement poser problème pour savoir de quelle volume on parle) plutôt que de définir proprement le volume en terme d'inégalité.
Quelqu'un connaît il un quelconque "cas concret" où on ne connaît que les égalités définissant les surfaces bordant le volume sans savoir quelles sont les inégalités qui définissent le volume ? (parce que moi, je vois pas...)
Je me suis toujours demandé si c'était lié au fait (que j'ai jamais compris non plus...) que certains enseignants font résoudre les équations correspondante lorsque l'énoncé demande de résoudre des inéquations (ça m'a plus que fortement étonné lorsque j'ai vu pour la première fois certains de mes étudiants procéder de cette façon pour ensuite tirer plus ou moins au pif les signes à mettre entre les zéros...)

[aviateur]

Rebonjour c'est bien ce que je pense. Maintenant le posteur a pu déformer la question de l'enseignant.

[Ben314]

Sinon, là :

... E borné par les surfaces

Il y a 8 possibilités concernant la définition de E selon les symboles ou que l'on met à la place des = pour définir E.
Mais si parmi les 8 parties de R^3 qui sont "bornées par les surfaces..." on ne cherche que celles qui sont bornées et non vides, ça restreint pas mal le choix :
Pour z fixé, seuls les ensembles E définis par vont être borné en .
Et pour que ce soit borné en , il faut que les deux autres inéquations soient et (c'est à dire ) ou le contraire et (c'est à dire ).
Sauf que l'ensemble E défini par ; et est clairement non borné en .

Donc le seul E borné bordé par les surfaces en question est celui défini par ; et c'est à dire et le volume est

[aviateur]

Oui c'est cela mais visiblement j'ai dû heurter certaines consciences avec mes remarques au risque de passer pour un idiot.

[infernaleur]

Je me suis toujours demandé si c'était lié au fait (que j'ai jamais compris non plus...) que certains enseignants font résoudre les équations correspondante lorsque l'énoncé demande de résoudre des inéquations (ça m'a plus que fortement étonné lorsque j'ai vu pour la première fois certains de mes étudiants procéder de cette façon pour ensuite tirer plus ou moins au pif les signes à mettre entre les zéros...)

Salut,
quand j'étais au lycée en premier les profs nous avaient d'abord appris a résoudre les équations du premier degré et du deuxième degré, et ensuite (surement pour faciliter la tache aux élèves) pour les inégalités on ce ramener à des égalités et pour en déduire le signe on appliquer cette règle :
Si le coefficient direct est positif alors le tableau de signe c'est - 0 + ( pour les équations du premier degré)
et +0-0+ ( pour les équations du second degré).
Et pareil si le coefficient directeur est négatif.

Ça doit surement être à cause de ça que plusieurs étudiants continue a faire cela (même avec des équations qui ne sont pas du premier ou second degré)

[Ben314]

. . . et ensuite (surement pour faciliter la tache aux élèves) pour les inégalités on ce ramener à des égalités . . .

Ben c'est justement là que je pige franchement pas la logique : tu peut m'expliquer en quoi ça "simplifie la tâche" de résoudre des égalités à la place de résoudre directement des inégalités ?

Parce que perso. la première (et quasiment la seule) différence que je voit, ben c'est qu'en général ça rallonge pas mal le laïus vu qu'on est obligé ensuite de discuter pour savoir quels sont les signes entre les racines.

Et dans l'autre sens (coté intérêt de la chose), ben je vois... néant...