2 sphères identiques dans un cube de volume donné

par **general7star** » 31 Oct 2015, 17:49

C'est un problème d'optimisation: il faut trouver le rayon de 2 sphères identiques qui sont à l'intérieur d'un cube de 1 dm3. J'aimerais avoir la démarche.
Merci.

par **chan79** » 31 Oct 2015, 19:11

general7star a écrit:C'est un problème d'optimisation: il faut trouver le rayon de 2 sphères identiques qui sont à l'intérieur d'un cube de 1 dm3. J'aimerais avoir la démarche.
Merci.

trace une coupe du cube par un plan qui contient les deux centres

par **general7star** » 01 Nov 2015, 05:48

chan79 a écrit:trace une coupe du cube par un plan qui contient les deux centres

Mais je ne suis même pas sûr de l'emplacement des centres...
Je crois que les sphères seront positionnées sur l'axe de la diagonale, la diagonale donnant deux moitiés; mais je crois que les sphères empièteront...
J'ai fait la coupe et à l'oeil, j'ai environ 35mm...

par **chan79** » 01 Nov 2015, 09:59

les deux centres doivent se situer sur une grande diagonale de longueur

dm

par **chan79** » 01 Nov 2015, 21:18

Ecris une équation avec comme inconnue le rayon des sphères.
La diagonale AG mesure

dm.

par **general7star** » 04 Nov 2015, 05:45

chan79 a écrit:Ecris une équation avec comme inconnue le rayon des sphères.
La diagonale AG mesure dm.

J'ai essayé avec cette coupe et je me suis rendu compte que ce ne serait pas le volume optimal. La coupe illustrée n'est pas très représentative... Si les rayons se trouvent sur le segment AG, je ne vois toujours pas comment trouver l'espace entre les sommets et la sphrère...
Merci

par **chan79** » 04 Nov 2015, 08:57

general7star a écrit: je me suis rendu compte que ce ne serait pas le volume optimal. Merci

Peux-tu expliquer pourquoi ?
Je trouve que le rayon des sphères est

par **general7star** » 04 Nov 2015, 19:46

chan79 a écrit:Peux-tu expliquer pourquoi ?
Je trouve que le rayon des sphères est

Comment es-tu arrivé à cette réponse? Comment es-tu sûr que la coupe choisie est la bonne? J'étais plutôt arrivé à 1,41/4= 35 mm

par **chan79** » 04 Nov 2015, 20:07

general7star a écrit:Comment es-tu arrivé à cette réponse? Comment es-tu sûr que la coupe choisie est la bonne? J'étais plutôt arrivé à 1,41/4= 35 mm

Explique ce que tu as fait et mets les calculs. On y verra plus clair.
Pour ma part, l'ai mis les deux centres sur la diagonale AG et je me suis arrangé pour que ces deux sphères soient tangentes entre elles et tangentes chacune à trois faces du cube.

par **general7star** » 06 Nov 2015, 04:40

chan79 a écrit:Explique ce que tu as fait et mets les calculs. On y verra plus clair.
Pour ma part, l'ai mis les deux centres sur la diagonale AG et je me suis arrangé pour que ces deux sphères soient tangentes entre elles et tangentes chacun à trois faces du cube.

J'ai effectué la coupe pour avoir une vue en deux dimensions et j'ai réalisé que le cercle débordait du demi rectangle [triangle] formé par la diagonale. Le rectangle est de dimension 1 et

2.

par **chan79** » 06 Nov 2015, 09:16

general7star a écrit:J'ai effectué la coupe pour avoir une vue en deux dimensions et j'ai réalisé que le cercle débordait du demi rectangle [triangle] formé par la diagonale. Le rectangle est de dimension 1 et 2.

Le centre I de la sphère du bas est un sommet d'un cube (en rouge) dont l'arête est le rayon r de cette sphère.
I se situe sue [AG].

coupe:

par **general7star** » 07 Nov 2015, 20:26

chan79 a écrit:Le centre I de la sphère du bas est un sommet d'un cube (en rouge) dont l'arête est le rayon r de cette sphère.
I se situe sue [AG].

coupe:

Il me semble évident que ce ne sont pas les plus grands cercles représentés!

par **chan79** » 07 Nov 2015, 20:31

general7star a écrit:Il me semble évident que ce ne sont pas les plus grands cercles représentés!

Tu auras du mal à trouver des sphères plus grandes ... :zen:

par **general7star** » 09 Nov 2015, 01:42

chan79 a écrit:Tu auras du mal à trouver des sphères plus grandes ... :zen:

D'accord, mais d'où vient l'équation de (3-r3) /4 = 32mm ?

Comment l'as-tu obtenu et avec quel lemme ? :happy2:

par **chan79** » 09 Nov 2015, 08:08

general7star a écrit:D'accord, mais d'où vient l'équation de (3-r3) /4 = 32mm ?

Comment l'as-tu obtenu et avec quel lemme ? :happy2:

j'ai mis l'équation le 6/11 à 18h16
Avec 3 ou 4 sphères au lieu de 2, ça doit être plus dur.

par **LeJeu** » 10 Nov 2015, 09:33

chan79 a écrit:j'ai mis l'équation le 6/11 à 18h16
Avec 3 ou 4 sphères au lieu de 2, ça doit être plus dur.

Bonjour Chan,

Toujours content de te lire , tes illustrations et tes calculs sont un plaisir !

Sinon, j'avais déjà vu une façon de voir qui simplifie les calculs , on change de point de vue :
on place les centres des sphères sur un cube de coté 1, les plus éloignées les unes des autres à une distance d par exemple et on rapporte au cube qui contient le tout de coté 1 +d

Pour deux sphères on a donc d = racine(3) ( la digonale du cube)
et donc r cherché = racine(3) / 2 *( 1+racine(3))
soit ( 3-Racine(3)) /4 : environ 0,32

Pour trois sphères la distance maximun est donc la diagonale d'une face
d= racine(2)
et r cherché = racine(2) / 2* ( 1+racine(2))
soit (2 - racine(2)) /2 : environ 0,29

[EDIT] - j'oubliais ,pour quatre c'est la même disposition ( diagonale d'une face) et donc même rayon

par **chan79** » 10 Nov 2015, 11:56

Salut LeJeu (content de te lire aussi)

Bien vu, c'est plus simple comme ça.
avec ta méthode, c'est facile avec 14 sphères (assemblage cubique à faces centrées)
r=(rac(2)-1)/2

par **mathafou** » 10 Nov 2015, 18:55

Bonjour,

à noter que si des empilements "évidents" pour 2, 3 et 4 sphères ... et 14 sphères correspondent à des extraits d'un empilement compact infini dans le vide, empilement cubique à faces centrées ou hexagonal compact, ce n'est pas forcément toujours le cas.

ainsi l'empilement à 5 sphères n'est pas trivial du tout
avec l'augmentation du nombre de sphères, il y a de très nombreux empilements optimum irréguliers
mais la différence entre un empilement optimum et un empilement "presque optimum" diminue.
du coup l'empilement cubique à face centrée reste une bonne approximation.

voir les meilleurs empilements connus sur le site packomania

par **chan79** » 10 Nov 2015, 19:22

Merci
Je vais regarder pour 5.
A priori, je placerais les centres aux sommets d'un solide formé par deux tétraèdres réguliers ayant une face commune. Ensuite, il faut enfermer ça dans un cube le plus petit possible .... :hum:
Aucune certitude que ce soit la meilleure démarche, évidemment.

par **LeJeu** » 11 Nov 2015, 11:06

chan79 a écrit:Merci
Je vais regarder pour 5.
A priori, je placerais les centres aux sommets d'un solide formé par deux tétraèdres réguliers ayant une face commune. Ensuite, il faut enfermer ça dans un cube le plus petit possible .... :hum:
Aucune certitude que ce soit la meilleure démarche, évidemment.

Bonjour pour le 5 , toujours avec la méthode précédente, on place 2 centres sur les extrémités de la diagonale du cube
On place ensuite les 3 autres sur le plan median aux deux extrémités / perpendiculaire à la diagonale , il coupe les arêtes du cubes en leur milieu : la distance de ce point milieu a l'extrémité de la diagonale est d= racine (5) /2 ( Pythagore)

Il fait ensuite vérifier que la distance entre les 3 centres sur les milieux des arêtes est bien supérieur à d, pour ca : on met le cube sur la pointe et on le regarde de dessus

Les 3 arêtes qui partent du coin forment un triangle équilatéral de coté racine(2)
nos six milieux d' arêtes forment donc un hexagone de coté racine(2) /2
le cercle circonscrit à cet hexagone est donc de rayon racine(2) /2
le triangle inscrit est donc de coté racine(6) /2
ce qui est bien supérieur à d = racine(5) /2

la distance d = racine (5) /2 est donc bien maximum ...
puis r = d /2*( 1+d)

Le Jeu

Chan si tu as le temps pour relire et vérifier ,je suis preneur !
PS - je ne sais pas illustrer ...

2 sphères identiques dans un cube de volume donné

2 sphères identiques dans un cube de volume donné

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