Le rectangle maxi dans un cercle

[Anonyme]

Le problème à résoudre est le suivant :

On a un cercle de rayon 1. On souhaite ajouter un rectangle à l'intérieur de ce cercle de façon à ce que les quatres coins du rectangle touchent le cercle.

Le problème est de savoir quelles seront la largeur et la longueur de ce rectangle de façon à ce que le rectangle ait une aire maximale ?

A vos crayons...

[Alpha]

Salut,

Si le rectangle que l'on nomme ABCD est inscrit dans le cercle, alors la droite (AC) est un diamètre du cercle, car A et C sont deux points du cercle et ABC est rectangle en B.

Il s'en suit, en notant L la longeur du rectangle, l sa largeur, que

L²+l²=2²=4. Or l'aire du rectangle est L*l. or l=racine de (4-L²)

Donc aire = L * racine de (4-L²),

or le carré de l'aire varie de la même façon que l'aire, puisque l'aire est positive,

donc aire²= L²*(4-L²)= 4L²-L^4. On pose x=L², on a alors 4x-x², qui est maximal quand x=2, soit L=racine de 2, d'où il vient l=racine de 2.

Donc aire², donc aire, est maximale quand L=l=racine de 2, c'est-à-dire quand le rectangle est un carré de diagonale le diamètre du cercle.


;)


Alpha