Où la puissance de 2 est la plus forte ?

[nodjim]

Bonjour à tous.
N!=2^a*3^b*5^c*....pk^1*p(k+1)^1*p(k+2)^1....
Comparer 2^a et le produit de tous les autres nombres premiers dont la puissance est 1.

[Ben314]

La "taillle" du 2^a est pas trop compliqué à évaluer,
Par contre pour le produit des nombre premier qui sont à la puissance 1, (c'est à dire de ceux entre n/2 et n), on pourra songer à écrire le coefficient binomial C(n,E(n/2)+1) [ E=partie entière]...

[Ben314]

Pour N pair, le premier est strictement supérieur au second (on peut même rajouter un coeff) mais, pour N impair, cela dépend (voir par exemple N=7 et N=9)

[nodjim]

Ce qui m'intéresse, c'est ce qui se passe quand N grandit, grandit...

[Ben314]

où (=partie entière de ).
Si , on a lorsqu'il existe un nombre premier tel que et le théorème sur la répartition des nombres premiers nous "vend" qu'il existe forcément un tel nombre premier dès que dépasse une certaine valeur .
Il reste à voir que l'inéquation est vérifiée des que .

P.S. : Les versions "effectives" du théorème de Tchebytcheff permettent d'avoir une valeur effective pour .

[nodjim]

Ma solution:
Pour N=2^n, N! a p2=(2^n)-1 puissances de 2.
De [N/2] à [N], on a environ une proportion de 1/ln(2^(n-1)) nombres premiers. Je prends la valeur forte dans cette estimation, c.a.d. qu'entre N/2 et N, la valeur moyenne est comprise entre 1/ln(2^n) et 1/ln(2^(n-1)).
On estime alors le nb. mini de premiers entre N/2 et N à 2^(n-1)/ln(2^(n-1))=
2^(n-1)/(n-1)ln2

Le produit des nombres premiers Pp entre N/2 et N est donc << à:
(2^n)^(2^(n-1)/(n-1)ln2)=2^(n/(n-1)*2^(n-1)/ln2)
la puissance de 2 de Pp est << 2^(n-1)/ln2)<<(2^n-1)=p2
Les qq puissances de 2 perdues (n max) lorsque N est entre 2^n et 2^(n+1) ne changent pas grand chose.

[Ben314]

Il me semble tout de même que, par rapport à ta réaction quand je te disait que c'était évident pour N pair et que tu me parlait de "N qui grandit, grandit...", ne traiter que le cas N=2^n, c'est quand même extrèmement loin de traiter le cas N->+oo !!!
Qui plus est, N=2^n est (évidement) pair et, dans ce cas, je trouve le 1) de la preuve de mon post bien plus satisfaisant du fait que je n'ais absolument pas besoin de supposer N plus grand qu'une valeur non clairement définie : le 1) montre que, pour tout N pair supérieur ou égal à 4 on a An>Bn.

[nodjim]

Sûr, Ben, ta méthode est plus générale et meilleure. Je donnais simplement ma solution, qui fait plus appel à des raccourcis par évalution.
Au départ, je pensais vraiment que, si avec N petit, les puissances de 2 étant supérieures, l'équilibre devait nécessairement s'inverser face à de plus en plus de nombres premiers de plus en plus grands. Or, il n'en est rien.
Voilà un sujet où l'intuitif est mis en défaut!