Plus près c'est mieux ... ou pas !

[MClerc]

En minimisation itérative, on admet que si pour deux positions x1 et x2, on a f(x1)<f(x2), alors on a plus de chance de trouver un x3 meilleur que x2 en s'approchant de x1 qu'en s'en éloignant.

Mais comment calculer cette probabilité, au moins sur des cas simples ?

Par exemple, si f est strictement monotone, elle vaut évidemment 1.

Par contre, pour f(x)=x^2 sur [-1,1], ce n'est plus vrai.
Dans ce dernier exemple, on peut facilement trouver trois points x1, x2, x3 tels que
f(x1) < f(x2)< f(x3)
avec pourtant
distance(x1,x2) > distance(x1,x3)

L'expérimentation (en tirant au hasard un grand nombre de triplets) donne une estimation de la probabilité cherchée, mais il serait plus satisfaisant d'avoir une formule.

Merci par avance pour toute idée constructive !

[Ben314]

Salut,
Déjà, lorsque l'on parle de probabilité (i.e. de "plus de chance que"), en général, c'est nettement mieux de préciser sur quel espace on se place et quelle est la loi régissant le "hasard" en question.

En regardant ton exemple, j'aurais tendance à considérer que l'on tire trois réels x1,x2,x3 dans [-1,1] avec une loi uniforme et indépendance. C'est bien de ça qu'il s'agit ?

Ensuite, je suis pas bien sûr de comprendre quelle est la proba que tu cherche à calculer.
Est-ce la probabilité que "distance(x1,x2) > distance(x1,x3) sachant que f(x1)<f(x2)<f(x3)" ?

Si oui, c'est franchement pas compliqué à calculer : il suffit de connaitre la définition de la notion de proba conditionnelles et de calculer deux intégrales très simples.

[MClerc]

Merci d'avoir mieux formalisé le problème. Oui, x1, x2 et x3 sont bien tirés indépendamment selon la loi uniforme. Pour le reste j'ai les événements :
A := distance(x1,x2) < distance(x1,x3)
B := f(x1)<f(x2)<f(x3)

Sauf erreur de ma part P(A)=1/2 et P(B)=1/6. En fait, je cherche P(A inter B). Alors, oui, si j'avais P(A/B), pas de problème, mais justement, je coince bêtement sur son calcul, comme, d'ailleurs, sur le calcul direct de P(A inter B).

C'est sans doute élémentaire, mais un peu plus d'aide serait la bienvenue

[Ben314]

Si je me suis pas gouré, et donc puis

[MClerc]

OK, merci.
Maintenant, je vais voir si je peux généraliser en dimension 2, voire plus