La puce et le président

[Imod]

Une énigme que je découvre et à laquelle j'aurais répondu hâtivement victoire de "S" vu la divergence de la série 1/n , mais après réflexion ce n'est pas si simple :mur:

Une puce invisible "P" et un petit excité que nous appellerons "S" s'affrontent dans un carré 10X10 . Chacun saute à tour de rôle , leur nième saut ayant une longueur 1/n . A son habitude "S" débute les hostilités . Sachant que "P" ne peut pas sortir du carré ni traverser une ligne de saut tracée par "S" , peut-il échapper aux assauts de son adversaire ( si la puce ne peut plus sauter elle meurt :cry: ) ?

Imod

PS : "S" ne voit en général pas grand chose , en tout cas ici , il ne voit pas la puce :zen:

[Anonyme]

Joli clin d'oeil :ptdr:

[ffpower]

Je dirai que S gagne, pour les mêmes raisons que toi lol ( mais vu que tu dis que c'est pas si simple )

J'ai envie de dire que s'ils en sont au n-ieme saut, Sark..euh S peut délimiter en 4 sauts un triangle équilatéral de coté 1/(n+3) et donc buter la puce si elle est dans ce triangle. Et vu que la somme des 1/n diverge, j'aurai tendence à croire qu'il peut s'organiser pour recouvrir le carré par de tels triangles ( edit: sauf que l'aire d'un triangle est en 1/n² en fait, pas 1/n :marteau: ). Mais bon il faut certes justifier comment organiser le truc..C'est p-e mieux de délimiter des carrés plutot que des triangle, a voir..

[Imod]

Le problème c'est que les sauts de puce sont de plus en plus petits et que même si on diminue son territoire elle pourrait continuer à sauter . C'est un peu le problème du mouton poursuivi par le loup dans un champ clos , je donne peu de chance à la puce :cry:

Imod

[ffpower]

Mais je veux dire quand on a délimité un tel triangle, un triangle équilatéral de coté 1/n au n-ieme coup, la puce qui doit faire un saut de 1/n meure forcément si elle dans le triangle, et ne pourra jamais allé dans ce triangle si elle ne l'est pas, donc on a délimite ainsi une zone interdite pour la puce..Bon après, j'ai effectivement conclu un peu vite vu que l'aire du triangle est en 1/n^2, et que la somme des 1/n^2 converge, c'est pas dit qu'on peut reussir à piéger ainsi la totalité du carré..Va falloir être précis^^

[Doraki]

Moi je pense plutôt que c'est P qui gagne.

Vous estimez à combien la fonction ;) -> nombre de coups nécessaires pour que S découpe le carré en zones de diamètre au plus ;) ?

[ffpower]

Ouais je commencais à me dire la même chose moi aussi..Apres on est pas obligé de faire un epsilon résau non plus : avec ma méthode précédente, en 4 coups on vire définitivement un triangle équilatéral de coté 1/4 par ex ( on doit même pouvoir optimiser un peu plus en utilisant les bords )..Donc je sais pas trop en fait^^

[Anonyme]

Je pense aussi que c'est P qui va gagner car elle pourra toujours sauter. Mais je ne suis pas sur car S peut "colorier" le carré tout entier avec ses lignes ( a cause de la divergence de 1/n). Qu'en pensez vous ?

[nodjim]

Pour moi, S ne peut gagner:
Pour être sûr que P est absent d'une surface, il faut que la plus grande longueur de cette surface soit < au saut suivant de P.
La plus grande 1ère surface que S pourrait construire et qui ne contient pas P serait un triangle équilatéral de coté < 1/3: surface:(rac3/4)*(1/3²).
Ensuite on peut supposer, dans la meilleure configuration possible, que chaque saut supplémentaire de S de longueur 1/n peut engendrer une surface maximale (rac3/4)*(1/n²). Si on fait la sommation, on arrive à une valeur finie connue inférieure à la surface du carré. (je crois que la sommation des inverses des carrés fait Pi²/6)