Le président du club

[Finrod]

Bonjour,

Cinq amis plus ou moins proches gèrent un club de pétanque. Ils vont devoir choisir parmi eux leur nouveau président.

On définit définit 5 types de "relations".

->Amitié, confiance réciproque importante.
-> Vassalité, un individu en admire un autre.
-> Neutralité, Un individu accorde peu d'attention a un autre.
-> Sympathie, Un individu apprécie un autre.
-> Aversion, Un individu Ignore un autre.

Sachant que :
Jean est ami avec Michel, a de la sympathie pour Pierre et Antoine.
Michel admire André et a de la sympathie pour pierre.
Pierre admire André, a de la symapthie pour les autres.
Antoine n'aime pas André et a de la sympathie pour les autres.
André est Narcissique mais il aime bien Jean et est neutre pour les autres.

Pouvez vous proposer un modèle mathématiques pour prévoir qui devrait logiquement être élu président ?

[scelerat]

Peut-on voter pour soi-meme ? Faut-il unanimite aux abstentions pres ? Les preferences des uns et des autres sont-elles publiques ?

[Finrod]

C'est un vote au sens le plus banal du terme, on peut voter pour soit, on est élu à la majorité, et le vote est officiellement à bulletin secret (ça contribue à éviter les conflits, on ne sait jamais).

Mais dans ce genre de cas, le groupe agit souvent à l'unanimité comme si les relations qui le compose déterminait par avance un candidat naturel.

Le modèle dont je parle devrait pouvoir déterminer si on est dans ce cas et dire quel serait le candidat naturel.
(alors sur 5 personnes, on doit pouvoir aussi le deviner au jugé mais bon)

[Lostounet]

C'est un vote au sens le plus banal du terme, on peut voter pour soit, on est élu à la majorité, et le vote est officiellement à bulletin secret (ça contribue à éviter les conflits, on ne sait jamais).

Mais dans ce genre de cas, le groupe agit souvent à l'unanimité comme si les relations qui le compose déterminait par avance un candidat naturel.

Le modèle dont je parle devrait pouvoir déterminer si on est dans ce cas et dire quel serait le candidat naturel.
(alors sur 5 personnes, on doit pouvoir aussi le deviner au jugé mais bon)

Je pense que c'est André qui devrait l'emporter, non ?
En tout cas, pour un modèle mathématique, je propose:

-> Amitié, confiance réciproque importante : + 1.25

-> Vassalité, un individu en admire un autre: + 1

-> Neutralité, Un individu accorde peu d'attention a un autre: + 0.1

-> Sympathie, Un individu apprécie un autre: + 0.5

-> Aversion, Un individu Ignore un autre: + 0



a) Jean est ami avec Michel, a de la sympathie pour Pierre et Antoine:
J'ajoute un + 1.25 pour Michel et Jean, et, pour Pierre et Antoine chacun 0.5.

b) Michel admire André et a de la sympathie pour pierre.
J'ajoute donc un + 1 pour André et + 0.5 pour Pierre.

c) Pierre admire André, a de la sympathie pour les autres.
J'ajoute donc un + 1 pour André, et + 0.5 pour tout le monde (sauf André)

d) Antoine n'aime pas André et a de la sympathie pour les autres.
Donc + 0.5 pour tout le monde sauf André

e) André est Narcissique mais il aime bien Jean et est neutre pour les autres.
André s'admire donc + 1 pour lui. Jean un 0.5. Et + 0.1 Général.

Ce qui donnerait à peu près:
(sans les +0.1)


Jean: + 1.25 + 0.5 + 0.5 + 0.5 = 2.75

Michel: + 1.25 + 0.5 + 0.5 = 2.25

André: + 1 + 1 + 1 = 3

Pierre: + 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 = 2

Antoine: + 0.5 + 0.5 + 0 = 1 (On s'en fout de lui en tout cas)

Le problème avec ce raisonnement, c'est qu'une personne ne votera que pour la personne à laquelle elle est le plus attachée. Donc l'addition est interdite ! :zen:

[Finrod]

Tu viens de trouver le premier exemple de modèle applicable mais celui-ci donne souvent un résultat faux.

La faille de ce modèle est qu'il ne prend pas en compte le poid de l'individu dans le groupe.

Etre admiré par antoine devrait logiquement être moins bénéfique que re admiré par jean par ex. Or avec ce modèle, ce la rapporterait un point dans chacun des cas.

[Lostounet]

Tu viens de trouver le premier exemple de modèle applicable mais celui-ci donne souvent un résultat faux.

La faille de ce modèle est qu'il ne prend pas en compte le poid de l'individu dans le groupe.

Etre admiré par antoine devrait logiquement être moins bénéfique que re admiré par jean par ex. Or avec ce modèle, ce la rapporterait un point dans chacun des cas.

Pourquoi ? Chacun a 1 voix non ? Je n'ai pas vraiment compris ?

MODIF: Tu étais modérateur avant ? Félicitations :id:

[Ben314]

Salut,
J'ai toujours eu l'impression que, façe à cegenre de question, on peut répondre tout... et son contraire.
Donc je répondrais en donnant un exemple classique (légèrement différent du paradoxe de condorcet) :

Lors d'une élection présidentielle, trois candidats Aline, Brandon et Cindy se présentent.
Les citoyens du pays se partagent en trois groupes :
- 45 % d'entre eux préfèrent Aline à Cindy et Cindy à Brandon.
- 30 % d'entre eux préfèrent Brandon à Cindy et Cindy à Aline.
- 25 % d'entre eux préfèrent Cindy à Brandon et Brandon à Aline.

Un journal effectue un sondage dont l'unique question est :
"Quel est votre candidat préféré ?"
Pour ce journal, quel est le candidat préféré des citoyens ?
Quel est le moins apprécié ?

Un autre journal préfère effectuer trois sondages :
1) "Préférez-vous Aline à Brandon ?" ;
2) "Préférez-vous Aline à Cindy ?" ;
3) "Préférez-vous Brandon à Cindy ?" ;
Pour ce journal, quel est le candidat préféré des citoyens ?
Quel est le moins apprécié ?

En fait, si l'élection comporte deux tours et que seuls les deux meilleurs candidats du premier tours se présentent au second tour, qui sera élu président ?

[scelerat]

Le problème avec ce raisonnement, c'est qu'une personne ne votera que pour la personne à laquelle elle est le plus attachée. Donc l'addition est interdite ! :zen:

Si on vote, on ne le fait que pour une personne, donc il faut determiner pour qui chacun vote et lui donner un point. Les fractions de point, les seconds choix n'ont aucune importance. Puisqu'on peut voter pour soi, il est tres probable qu'Andre aura sa voix, celle de Michel et celle de Pierre, et sera elu.
Si par contre on fait un scrutin a main leve, ou on ne peut voter pour soi-meme et ou celui qui obtient le moins de voix est elimine a chaque tour, Antoine peut-il empecher Andre d'etre elu ?

[Ben314]

Une autre référence concernant cette (vaste) question :
Le Théorème d'impossibilité d'Arrow

[Finrod]

Disons que le but du modèle ici serait de déterminer comment les diverse relations dans le groupe influence immanquablement le choix pour le nouveau président.

Donc comme l'aspect psychologique est important, il faudrait que le candidat soit désigné par une discussion plutôt que par un vote a bulletin secret.

Si le vote est à bulletin secret, il y a fort à parier que c'est Jean ou André qui sera élu. Et cela dépendra du vote de Michel, qui seul parmi les supporters d'andré est susceptible de changer son vote pour son ami jean.

La question que je pose, plus précisément, quel que soit le mode de vote, est donc "comment déterminer l'influence relative de Jean et André dans le groupe ?" Cela revient à y déterminer l'importance de chacun de ses membres.

Notre ami google utilise une modélisation analogue pour déterminer l'importance de ses pages dans les recherches.

Il s'agit de la version récursive de la proposition de lostounet, qui permet de construire une .... chaine de Markov a espace d'état fini.

[Ben314]

Va jetter un coup d'oeuil sur le Théorème d'impossibilité d'Arrow : Tu verra que ce n'est pas un problème de vote ou de décision "prise en commun", c'est réellement un problème de choix social.

[Finrod]

Ce que je veux modéliser n'a à priori rien à voir avec Arrow.

Puisque justement, le choix du président ne satisfera pas tout le monde.

Je cherche juste à déterminer qui de Jean ou André à plus plus d'influence. Apriori cela revient aussi a se demander quel président décevra le moins ou satisfera le plus. Mais il n'y aura jamais de contradiction avec Arrow.

De plus, j'ai une dent contre de théorème que j'ai vu utilisé par des anarco-capitaliste pour justifier un peu n'importe quoi.

[Ben314]

Le problème, à mon sens, c'est que tu as beau avoir "une dent contre", la preuve du théorème est tout de même indéniable...

Si tu veut uniquement savoir quelle influence à "untel" (et non pas qui sera élu), il faudrait que tu définisse clairement ce que tu appelle "influence" et comment on la quantifie...

[Finrod]

C'était un peu la question "établir un modèle".

Je ne conteste pas Arrow. Justement, comme ici il n'y a pas de moyen déterministe de trouver le vainqueur, il ne peut y avoir qu'une étude donnant un résultat probable.

Je donnerai le modèle récursif tout à l'heure.

[Finrod]

Modèle récursif.

"L'influence d'un membre du groupe est égale à la somme des attentions (modélisé par un coeff) que lui porte chaque membre, modulé par l'influence de chaque membre."

Le total d'attention qu'un membre apporte aux autres (et à lui) est toujours le même. C'est une approximation indispensable. Pour compenser, une personne qui serait "refermée" sur elle même devrait se voir attribuer un coeff "d'attention" fort de elle même vers elle même.

Ce total est ramené à 1 pour la suite.

Si Jean: x , MIchel : y André : z Pierre : t et Antoine: r

Si Amitié -> Attention de 3
Vassalité -> Attention de 3
Sympathie -> Attention de 2
Neutralité -> 1
Anthipathie -> 0

Donc

x -> (1/10)x+(3/10)y+(2/10)t+(2/10)z+(2/10)r

y -> (3/10)x+(2/10)y+(1/10)z+(2/10)t+(2/10)r

z-> (x/10)+ (3/10)y + (3/10)z+ (3/10)t

t -> (2/8)x+(2/8)y+(1/8)z+(1/8)t+(2/8)r

r -> (2/8) x + (1/8 ) y + (1/8) z + (2/8) t + (2/8)r

Edit : La matrice du système est markovienne. Si on résolvait ce système on trouverait x=y=z=t=r=1 car la somme sur chaque ligne de la matrice vaut 1.

C'est la mesure invariente de la chaine de Markov qui donne le poid de chaque été de la chaine (les état sont jean et ses copains)

Donc il faut Trouver un vecteur propre, pour la valeur propre 1 de la transposé de cette matrice.

Je vais voir si je peux en calculer 1, mais je ne le ferai pas à la main ^^

Comme mesure invariant, j'ai

(x=1,1 / y=1,25 / z=0,87 / t=1,12 / r=1)

C'est pas très logique, mais je ne vois pas d'erreur de calcul.

En général, je le fait avec Maple, mais là j'ai que ma vieille casio.

[Lostounet]

La matrice du système est markovienne.

C'est la mesure invariente de la chaine de Markov qui donne le poid de chaque été de la chaine (les état sont jean et ses copains)

Trouver un vecteur propre, pour la valeur propre 1 de la transposé de cette matrice.

Hum :hum: ça fait un peu peur quand même ! :briques:

[ffpower]

C'est le principe de base de Google pourtant :)

[scelerat]

C'est le principe de base de Google pourtant

Justement !