Primalité entre 2 nombres

[nodgim]

On choisit 2 nombres entiers au hasard. Quelle est la probabilité pour que ces 2 nombres aient un PGCD autre que 1 ?
Je n'ai qu'une réponse approchée.

[ffpower]

c est un classique ca..sauf que le "au hasard" n est pas bien défini.Sinon c est 1-6/pi²

[nodgim]

Houlà, c'est du rapide, ça! et avec la formule exacte en plus! :we:

[nodgim]

Et donc, comme c'est vraiment allé trop vite, la même question avec 3 nombres.

[ffpower]

et bien avec une methode non rigoureuse mais intuitive,je dirai ou

[ThSQ]

Plus généralement sur n nombres :

la probabilité (ça veut rien dire comme ça, mais on peut le rendre rigoureux comme dans le cas n=2) que n nombres aient p (premier) comme facteur commun est 1/p^n.

La proba que n nombre soient premiers entre eux est "donc"

[nodgim]

Pour la question de la probabilité, et pour lever toute ambiguïté, on peut assimiler le problème, tel que je le conçois, à un tirage de 2 (ou 3) numéros parmi un grand nombre N, tous les entiers de 1 à N étant représentés. On ne replace pas le numéro tiré, mais pour N grand, ça ne change pas grand chose.

Pour l'utilisation de la fonction zéta, il me semble que ça pose problème.
En effet, la fonction zéta(2) est 1/2²+1/3²+1/4²+.....
Mais 1/4² est à rejeter, car ce terme est inclus dans 1/2². De même, 1/6²...et tous les nombres non premiers.

[Imod]

Le problème est que l'infini n'est pas un très grand nombre mais autre chose et quand on veut faire des probas sérieusement il faut se méfier des tirages au sort dans des ensembles infinis . J'ai d'ailleurs déjà évoqué le problème ( sans écho ) à propos du bâton cassé en trois morceaux pour former un triangle .

Imod

[ffpower]

ca vient de la formule d euler.Voila la demo "intuitive" pour calculer la probabilité que 2 nbres sont premiers entre eux.Si a et b sont 2 entiers pris "au hasard",pour chaque p premier la probabilité que p divise a,c est 1/p,la proba que p divise b c est 1/p aussi,donc la proba que p divise a et b vaut 1/p².On en déduit donc que la proba que p ne divise pas a ou p ne divise pas b vaut 1-1/p².Or a et b sont premiers entre eux si et seulement si pour tout p premier,p ne divise pas a ou p ne divise pas b.En utilisant l indépendance de ces evenements,on obtient que la proba que a et b soient premiers entre eux vaut ,le produit se faisant sur les nb premiers.Et la formule d euler dit que ce produit vaut (donc 6/pi² ici)
Pour voir ca,il suffit d' écrire et de faire le produit sur les p premier.La décompositon des entiers en produit de nb premiers va alors apparaitre naturellement et on obtient que le produit vaut .

Au passage,la formule d Euler est une formule fondamentale car c est une des rares formules invoquant l ensemble des nombres premiers,ce qui permet d obtenir des resultat interessant sur la distribution des nombres premiers(par ex le thm fort de dirichlet..)

[nodgim]

La démo me semble bonne, et pourtant......
Prenons N=10. On dénombre 10*9/2=45 couples, dont :
couples 2k: 5*4/2=10
couples 3k: 3*2/2=3
couples 5k: 2*1/2=1
donc 14 couples sur 45 ne sont pas premiers entre eux.
14/45=0.311

Pour N=20 :0.3526
Pour N=50 :0.4057
Pour N=100: 0.426

Par ailleurs, la somme des inverses des carrés des nombres premiers jusqu'à 449 vaut 0.45174...

Or, 1-6/pi²=0.392....

Alors, où est la faille ? :doh:

[nodgim]

Le problème est que l'infini n'est pas un très grand nombre mais autre chose et quand on veut faire des probas sérieusement il faut se méfier des tirages au sort dans des ensembles infinis . J'ai d'ailleurs déjà évoqué le problème ( sans écho ) à propos du bâton cassé en trois morceaux pour former un triangle .

Imod

Je te donne raison. C'est en réfléchissant sur le problème du bâton cassé que j'en suis venu à poser cette présente question !
Donc, je précise: N très grand mais fini.

[nodgim]

Bon, j'ai trouvé la faille, elle vient de moi. En fait, je compte certains couples 2 fois, par exemple (6,12) que je compte dans les 2k et aussi dans les 3k. Classique, pourtant, dans les dénombrements!