Polygone régulier

par **Imod** » 11 Juil 2010, 22:42

Bonsoir :we:

Un problème classique est de montrer que le carré est le seul polygone régulier dont les sommets sont aux noeuds d'un quadrillage orthonormé plan . Mais quand est-il en dimension trois ?

Un exemple de triangle équilatéral construit sur un tel maillage :

Amusez-vous bien :zen:

Imod

par **Ben314** » 11 Juil 2010, 23:03

Salut,
Sauf erreur, en dimension quelconque

, si un polygône régulier à

cotés a ces sommets dans

, alors en considérant des vecteurs

formés par deux cotés consécutifs du polygône, on doit avoir

et

qui est un quotient, ce qui limite pas mal les possibilités pour

(1,2,3,4,6)

Edit : pour l'hexagone , prendre un cube ABCDA'B'C'D' de coté 2 et les milieu des arrêtes [AB], [BC], [CC'], [C'D'], [D'A'] et [A'A]

par **nodjim** » 12 Juil 2010, 16:34

Il me semble avoir déja vu, du même auteur, cette question sous une autre forme......

par **Imod** » 12 Juil 2010, 18:31

nodjim

Le problème que j'avais déjà proposé est celui que je cite en préambule ( pour un quadrillage plan ) .

Comme l'affirme Ben , les seules possibilités sont le carré , le triangle équilatéral et l'hexagone régulier . Il existe une démonstration élémentaire ne nécessitant aucune connaissance particulière sur les valeurs trigonométriques des 2pi/n .

Imod

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